Determine área da região compreendida entre a parábola y=2-x^2 e a reta y=-raiz2 x+2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = 2 - x^2 e pela reta y = -raiz2,x + 2. Vamos usar cálculo de integrais para áreas entre curvas: precisamos encontrar os pontos de interseção, determinar qual curva está acima e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos em que a parábola e a reta se encontram, igualamos as duas expressões:
2 - x^2 = -raiz2,x + 2
Cancelando o +2) de ambos os lados fica
-x^2 = -raiz2,x
que é equivalente a
x^2 - raiz2,x = 0 Longrightarrow x(x - raiz2) = 0
Logo, x = 0 ou x = raiz2.

Passo 3

Agora precisamos ver qual curva está acima no intervalo [0,raiz2]. Tomando um ponto intermediário, por exemplo x = 1:
ypar,=,2 - 1^2 = 1
yreta,=,-raiz2cdot1 + 2 = 2 - raiz2 approx 0,586
Como 1 > 0,586, a parábola está acima da reta nesse intervalo.

Passo 4

A área procurada é
integral0^raiz2 l(ypar(x) - yreta(x)r),dx = integral0^raiz2 l[(2 - x^2) - l(-raiz2,x + 2r)r],dx
Simplificando o integrando, fica
(2 - x^2) + raiz2,x - 2 = raiz2,x - x^2

Passo 5

Agora é só calcular a integral:
integral0^raiz2 (raiz2,x - x^2),dx = raiz2 integral0^raiz2 x,dx - integral0^raiz2 x^2,dx
Calculando cada uma:
raiz2 integral0^raiz2 x,dx = raiz2 cdot x^22 |0^raiz2 = raiz2 cdot 22 = raiz2,
integral0^raiz2 x^2,dx = x^33 |0^raiz2 = (raiz2)^33 = 2raiz23
Subtraindo,
raiz2 - 2raiz23 = raiz2l(1 - 23r) = raiz23

Passo 6

Portanto, a área da região entre a parábola e a reta é dada por dfracraiz23.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{3}

Exercícios relacionados