Encontre uma fórmula para a função inversa. (e) f(x)=x^2-x, x >= 1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a função inversa de para . Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas e resolver uma equação quadrática. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, a função inversa “desfaz” o que a função original faz. Se , então a inversa . Nossa missão é achar .

Passo 3

Vamos começar substituindo y = x^2 - x por x^2 - x - y = 0 :
Agora, queremos isolar em termos de . Para isso, vamos rearranjar a equação:

Passo 4

Essa é uma equação quadrática na forma x = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-y)2 cdot 1
Aqui, x = 1 pm raiz1 + 4y2 , e . Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos escolher o sinal certo no “ x = 1 + raiz1 + 4y2 ”. Sabemos que . Observando a expressão, para que seja maior ou igual a , devemos escolher o sinal positivo:

Resposta

A função inversa é:
f^-1(y) = 1 + raiz1 + 4y2

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