Determine a área da região delimitada pelas curvas 4 y+x^2=12 e x=y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a área da região que fica entre as curvas 4y + x^2 = 12 e x = y. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente integração, para achar essa área. Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram e depois calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa achar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Sabemos que x = y, então podemos substituir y por x na primeira equação:
4x + x^2 = 12
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de x.

Passo 3

Resolvendo a equação x^2 + 4x - 12 = 0, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 4 e c = -12. Calculando o discriminante:
De<a = 4^2 - 4 times 1 times (-12) = 16 + 48 = 64
Então, as soluções são:
x = -4 pm raiz642 = -4 pm 82
Isso nos dá x = 2 e x = -6.

Passo 4

Com os valores de x, sabemos que os pontos de interseção são (2, 2) e (-6, -6). Agora, vamos identificar qual curva está acima da outra entre esses pontos. Para isso, escolhemos um valor de x entre -6 e 2, por exemplo, x = 0:
y = x = 0
4y + x^2 = 4 times 0 + 0 = 0 Rightarrow y = 3
Como y = 3 está acima de y = 0, a curva 4y + x^2 = 12 está acima da reta x = y nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área entre as curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas ycima e ybaixo de x = a a x = b é:
Área = integrala^b (ycima - ybaixo) , dx Á
Aqui, ycima = 12 - x^24 e ybaixo = x, com a = -6 e b = 2. Então, a integral fica:
Área = integral-6^2 ( 12 - x^24 - x ) dx Á

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Área = integral-6^2 ( 12 - x^24 - x ) dx = integral-6^2 ( 3 - x^24 - x ) dx Á
Integrando termo a termo:
Área = [ 3x - x^312 - x^22 ]-6^2 Á
Calculando nos limites:
Para x = 2:
3(2) - 2^312 - 2^22 = 6 - 812 - 2 = 6 - 23 - 2 = 4 - 23 = 103
Para x = -6:
3(-6) - (-6)^312 - (-6)^22 = -18 - -21612 - 362 = -18 + 18 - 18 = -18
Subtraindo:
Área = 103 - (-18) = 103 + 18 = 103 + 543 = 643 Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 643 unidades de área.

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