Determine a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a área da região que fica entre as curvas
e
. A gente vai usar conhecimentos de cálculo, mais especificamente integração, para achar essa área. Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram e depois calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa achar os valores de
e
que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Sabemos que
, então podemos substituir
por
na primeira equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação
, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
Isso nos dá
e
.
Passo 4
Com os valores de
, sabemos que os pontos de interseção são
e
. Agora, vamos identificar qual curva está acima da outra entre esses pontos. Para isso, escolhemos um valor de
entre -6 e 2, por exemplo,
:
Como
está acima de
, a curva
está acima da reta
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para calcular a área entre as curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
, com
e
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.