A partir da definição de limite, prove que:
lim substackx 3 y -1(x^2+y^2-4 x+2 y)=-4

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição varepsilon- de de limite em duas variáveis para mostrar que lim(x,y)to(3,-1)f(x,y)=-4, onde f(x,y)=x^2+y^2-4x+2y. Vamos precisar escrever |f(x,y)+4| e estimar cada parte de modo a obter uma constante vezes raiz(x-3)^2+(y+1)^2.

Passo 2

Escrevemos a diferença em termos de fatores que envolvem x-3 e y+1:
f(x,y)+4=(x^2-9)+(y^2-1)-4(x-3)+2(y+1)

Passo 3

Aplicamos a desigualdade triangular e fatoramos os termos quadráticos:
|f(x,y)+4|<=|x^2-9|+|y^2-1|+|4(x-3)|+|2(y+1)|

Passo 4

Como queremos controlar tudo em função de de, imponhamos ainda de. Então, se raiz(x-3)^2+(y+1)^2, temos:
  • |x-3| implica |x+3|<=|x-3|+6,
  • |y+1| implica |y-1|<=|y+1|+2.

Passo 5

Agora estimamos cada termo:
|x^2-9|=|x-3|,|x+3|<=de
|y^2-1|=|y+1|,|y-1|<=de
|4(x-3)|=4|x-3|<=4de
|2(y+1)|=2|y+1|<=2de

Passo 6

Somando as estimativas:
|f(x,y)+4|<=7de

Passo 7

Para que |f(x,y)+4)| basta escolher
de
Assim, sempre que 0 teremos |f(x,y)+4)|<16de, o que prova o limite.

Passo 8

Resposta final obtida usando a definição varepsilon- de.

Resposta

-4

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