A partir da definição de limite, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição
-
de limite em duas variáveis para mostrar que
, onde
. Vamos precisar escrever
e estimar cada parte de modo a obter uma constante vezes
.
Passo 2
Escrevemos a diferença em termos de fatores que envolvem
e
:
Passo 3
Aplicamos a desigualdade triangular e fatoramos os termos quadráticos:
Passo 4
Como queremos controlar tudo em função de
, imponhamos ainda
. Então, se
, temos:
-
implica , -
implica .
Passo 5
Agora estimamos cada termo:
Passo 6
Somando as estimativas:
Passo 7
Para que
basta escolher
Assim, sempre que
teremos
, o que prova o limite.
Passo 8
Resposta final obtida usando a definição
-
.
Resposta
-4