A partir da definição de limite, prove que:
lim substackx 1 y 1(x^2+y^2)=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite para funções de duas variáveis, que limsubstackxto1yto1(x^2+y^2)=2. Vamos trabalhar com a definição: para todo varepsilon>0 devemos encontrar de0 tal que 0 implique l|x^2+y^2-2r|.

Passo 2

Para manipular l|x^2+y^2-2r|, escrevemos em bloco:
|x^2+y^2-2|=|(x-1)(x+1)+(y-1)(y+1)|<=|x-1|,|x+1|+|y-1|,|y+1|

Passo 3

Para controlar |x+1| e |y+1|, escolhemos primeiro um limite intermediário de. Se 0, então |x-1|<1 e |y-1|<1, o que dá 0 e 0. Assim |x+1|<=3 e |y+1|<=3.

Passo 4

Agora definimos de. Então, sempre que 0, temos |x-1| e |y-1|, daí
|x^2+y^2-2|<=3|x-1|+3|y-1|<=3de

Passo 5

Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe de0 satisfazendo a definição de limite, logo

Resposta

2

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