Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar.
r=5 sen theta

Passo 1

Na questão a gente tem a equação polar r = 5 sin theta. O conteúdo que vamos usar é cálculo de área em coordenadas polares, que se faz com a fórmula A = tfrac12 integral r^2,dtheta.

Passo 2

Para desenhar a curva, note que r = 5sintheta só é não negativa quando sintheta >= 0, ou seja theta vai de 0 a pi. É nesse intervalo que a região fechada aparece.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área a gente escreve:
A = 12 integral0^pi (5 sin theta)^2 , dtheta \nAgora a gente fatora constantes e usa a identidade de sin^2:
A = 12 cdot 25 integral0^pi sin^2 theta , dtheta = 252 integral0^pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta

Passo 4

Calculando essa integral:
integral0^pi sin^2 theta , dtheta = 12 integral0^pi (1 - cos(2theta)) , dtheta = 12 l[ theta - tfracsin(2theta)2 r]0^pi = 12 (pi - 0) = pi2

Passo 5

Substituindo de volta no A:
A = 252 cdot pi2 = 25pi4

Resposta

25pi4

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