Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções.
f(x, y, z, t)=x y^2t+2 z;

Passo 1

A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y,z,t)=x,y^2t+2z. O conteúdo principal é derivada parcial e vamos usar a regra do produto (para x e y^2) e a regra da cadeia aplicada ao fator (t+2z)^-1.

Passo 2

Escrevendo f como f(x,y,z,t)=x,y^2,(t+2z)^-1, para calcular dfracpartial fpartial x tratamos y,z,t como constantes. Assim temos:
partial fpartial x = y^2,(t+2z)^-1 = y^2t+2z

Passo 3

Para dfracpartial fpartial y tratamos x,z,t como constantes. Note que y^2 gera um fator 2y. Logo:
partial fpartial y = xcdot 2y ,(t+2z)^-1 = 2xyt+2z

Passo 4

Para dfracpartial fpartial z tratamos x,y,t como constantes e aplicamos a regra da cadeia em (t+2z)^-1. Como ddz(t+2z)^-1 = -1cdot (t+2z)^-2 cdot 2, obtemos:
partial fpartial z = x,y^2 cdot (-2),(t+2z)^-2 = -2x,y^2(t+2z)^2

Passo 5

Para dfracpartial fpartial t tratamos x,y,z como constantes e derivamos (t+2z)^-1 em relação a t, obtendo -1) (t+2z)^-2. Logo:
partial fpartial t = x,y^2 cdot (-1),(t+2z)^-2 = -x,y^2(t+2z)^2

Resposta

fx=dfracy^2t+2z, fy=dfrac2xyt+2z, fz=-dfrac2x,y^2(t+2z)^2, ft=-dfracx,y^2(t+2z)^2

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