Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
y=e^{2 x}, \quad y=\frac{x}{x^{2}+1}, x=0, x=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos quatro gráficos:
y=e^{2x},\qquad y=\frac{x}{x^{2}+1},\qquad x=0,\qquad x=1.
Informações dadas:
\text{as curvas verticais } x=0 \text{ e } x=1 \text{ definem o intervalo } [0,1]\text{ no eixo }x;
\text{as duas funções } y=e^{2x} \text{ e } y=\frac{x}{x^{2}+1} \text{ formam as fronteiras superior e inferior (a determinar).}çõ
Pergunta clara: calcular a área da região entre essas duas curvas no intervalo [0,1].

Passo 2

Precisamos saber qual curva é a superior e qual é a inferior para x\in[0,1], porque a área entre curvas é a integral do (superior − inferior).
Primeiro observe que, para x\in[0,1],
e^{2x}\ge e^{0}=1,
pois a exponencial é crescente e 2x\ge0 nesse intervalo.
Agora observe que, para x\in[0,1],
0\le \frac{x}{x^{2}+1}\le \frac{1}{2}.
A desigualdade \frac{x}{x^{2}+1}\le\frac{1}{2} pode ser verificada avaliando em x=1 (onde atinge seu valor máximo no intervalo) ou derivando; para nossos propósitos basta notar que \frac{x}{x^{2}+1}\le\frac{1}{2}<1.
Portanto, para todo x\in[0,1] temos
e^{2x}\ge 1>\frac{x}{x^{2}+1},
logo y=e^{2x} é a curva superior e y=\dfrac{x}{x^{2}+1} é a curva inferior no intervalo considerado.

Passo 3

A área A da região entre as curvas de x=0 a x=1 é dada pela integral definida da diferença (superior − inferior):
A=\int_{0}^{1}\left(e^{2x}-\frac{x}{x^{2}+1}\right)\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 4

Separe a integral em duas partes:
A=\int_{0}^{1} e^{2x}\,dx \;-\; \int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Calcule a primeira integral. Sabemos que \dfrac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)=2e^{2x}. Portanto uma primitiva de e^{2x} é \dfrac{1}{2}e^{2x}. Assim,
\int_{0}^{1} e^{2x}\,dx=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}e^{0}=\frac{1}{2}\big(e^{2}-1\big).

Passo 5

Calcule a segunda integral. Use a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, o que dá x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim uma primitiva de \dfrac{x}{x^{2}+1} é \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1). Portanto
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\left[\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big)\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{1}{2}\ln 2,
pois \ln 1=0.

Passo 6

Substitua os resultados no cálculo da área:
A=\frac{1}{2}\big(e^{2}-1\big)-\frac{1}{2}\ln 2.
Colocando em fator comum \tfrac{1}{2},
A=\frac{1}{2}\Big(e^{2}-1-\ln 2\Big).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\big(e^{2}-1-\ln 2\big)

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