Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelos quatro gráficos:
Informações dadas:
Pergunta clara: calcular a área da região entre essas duas curvas no intervalo
.
Passo 2
Precisamos saber qual curva é a superior e qual é a inferior para
, porque a área entre curvas é a integral do (superior − inferior).
Primeiro observe que, para
,
pois a exponencial é crescente e
nesse intervalo.
Agora observe que, para
,
A desigualdade
pode ser verificada avaliando em
(onde atinge seu valor máximo no intervalo) ou derivando; para nossos propósitos basta notar que
.
Portanto, para todo
temos
logo
é a curva superior e
é a curva inferior no intervalo considerado.
Passo 3
A área
da região entre as curvas de
a
é dada pela integral definida da diferença (superior − inferior):
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 4
Separe a integral em duas partes:
Calcule a primeira integral. Sabemos que
. Portanto uma primitiva de
é
. Assim,
Passo 5
Calcule a segunda integral. Use a substituição
. Então
, o que dá
. Assim uma primitiva de
é
. Portanto
pois
.
Passo 6
Substitua os resultados no cálculo da área:
Colocando em fator comum
,