Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
y=2^{x}, \quad x+y=1, x=1

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas y=2^{x},\; x+y=1,\; x=1.”
Informações dadas:
  • A curva exponencial y=2^{x}.
  • A reta x+y=1, que pode ser escrita como y=1-x.
  • A reta vertical x=1.
O que se quer:
  • A área da região fechada limitada por essas três curvas.

Passo 2

Precisamos achar os pontos de intersecção relevantes (vértices da região). Primeiro encontre a interseção entre y=2^{x} e y=1-x. Isso exige resolver
2^{x}=1-x.
Note que x=0 satisfaz essa equação porque 2^{0}=1 e 1-0=1. Para garantir que não exista outra interseção, considere a função
f(x)=2^{x}+x-1.
Calculamos a derivada
f'(x)=2^{x}\ln 2 + 1.
Como 2^{x}\ln 2\ge 0 para todo x e +1 garante que f'(x)>0 sempre, a função f é estritamente crescente, então tem no máximo uma raiz. Como já encontramos a raiz x=0, essa é a única. Portanto a interseção entre y=2^{x} e y=1-x é o ponto (0,1).

Passo 3

Agora as interseções com x=1:
  • Interseção de x=1 com y=1-x: substituindo x=1 obtemos y=0, logo ponto (1,0).
  • Interseção de x=1 com y=2^{x}: substituindo x=1 obtemos y=2, logo ponto (1,2).
Portanto os vértices da região são (0,1), (1,0) e (1,2). Notei estes valores a partir das equações dadas.

Passo 4

Para escolher como calcular a área, observe a orientação da região: para x entre 0 e 1, a curva exponencial tem valor maior que a reta, pois 2^{x} é crescente de 1 para 2 enquanto 1-x decresce de 1 para 0. Portanto, ao fixar x\in[0,1] o “topo” da região é y=2^{x} e a “base” é y=1-x.
Fórmula usada (conceito chave): a área entre duas curvas y=y_{\text{top}}(x) e y=y_{\text{bot}}(x) entre x=a e x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\big)\,dx.Á
Aqui usaremos integração em x com a=0 e b=1, e y_{\text{top}}(x)=2^{x}, y_{\text{bot}}(x)=1-x.

Passo 5

Montando o integral da área:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\big(2^{x}-(1-x)\big)\,dx.Á
Vamos calcular isso em duas partes: \int_{0}^{1}2^{x}\,dx e \int_{0}^{1}(1-x)\,dx.
Regra de integração importante (mini-aula): para uma base positiva a>0, a derivada de a^{x} é \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a. Assim a primitiva (antiderivada) de a^{x} é
\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C,
porque ao derivar \dfrac{a^{x}}{\ln a} volta-se a a^{x}. No nosso caso a=2.

Passo 6

Calcule cada integral:
  1. Para a exponencial,
\int_{0}^{1}2^{x}\,dx=\left[\frac{2^{x}}{\ln 2}\right]_{0}^{1}=\frac{2^{1}}{\ln 2}-\frac{2^{0}}{\ln 2}=\frac{2-1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}.
  1. Para a reta,
\int_{0}^{1}(1-x)\,dx=\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Subtraindo:
\text{Área}=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{2}.Á
Se quiser uma aproximação numérica rápida: \ln 2\approx 0{,}6931, logo \dfrac{1}{\ln 2}\approx 1{,}4427 e a área aproximada é 1{,}4427-0{,}5\approx 0{,}9427.

Passo 7

Resumo do raciocínio para usar na prova: encontre interseções para obter os limites de integração; determine qual curva é o “topo” e qual é a “base” no intervalo; aplique a fórmula da área como integral da diferença; use a primitiva de a^{x} que é a^{x}/\ln a para calcular a parte exponencial; faça as contas com atenção aos limites.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{2}

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