Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas
.”
Informações dadas:
- A curva exponencial
. - A reta
, que pode ser escrita como . - A reta vertical
.
O que se quer:
- A área da região fechada limitada por essas três curvas.
Passo 2
Precisamos achar os pontos de intersecção relevantes (vértices da região). Primeiro encontre a interseção entre
e
. Isso exige resolver
Note que
satisfaz essa equação porque
e
. Para garantir que não exista outra interseção, considere a função
Calculamos a derivada
Como
para todo
e
garante que
sempre, a função
é estritamente crescente, então tem no máximo uma raiz. Como já encontramos a raiz
, essa é a única. Portanto a interseção entre
e
é o ponto
.
Passo 3
Agora as interseções com
:
- Interseção de
com : substituindo obtemos , logo ponto . - Interseção de
com : substituindo obtemos , logo ponto .
Portanto os vértices da região são
,
e
. Notei estes valores a partir das equações dadas.
Passo 4
Para escolher como calcular a área, observe a orientação da região: para
entre
e
, a curva exponencial tem valor maior que a reta, pois
é crescente de
para
enquanto
decresce de
para
. Portanto, ao fixar
o “topo” da região é
e a “base” é
.
Fórmula usada (conceito chave): a área entre duas curvas
e
entre
e
é
Aqui usaremos integração em
com
e
, e
,
.
Passo 5
Montando o integral da área:
Vamos calcular isso em duas partes:
e
.
Regra de integração importante (mini-aula): para uma base positiva
, a derivada de
é
. Assim a primitiva (antiderivada) de
é
porque ao derivar
volta-se a
. No nosso caso
.
Passo 6
Calcule cada integral:
- Para a exponencial,
- Para a reta,
Subtraindo:
Se quiser uma aproximação numérica rápida:
, logo
e a área aproximada é
.
Passo 7
Resumo do raciocínio para usar na prova: encontre interseções para obter os limites de integração; determine qual curva é o “topo” e qual é a “base” no intervalo; aplique a fórmula da área como integral da diferença; use a primitiva de
que é
para calcular a parte exponencial; faça as contas com atenção aos limites.