Determine a área da região descrita.
A região englobada pela cardióide r=2+2 sen theta.

Passo 1

O enunciado pede para achar a área da região englobada pela cardioide dada em coordenadas polares por
r = 2 + 2sintheta
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de área em coordenadas polares:
A = 12 integralalpha^beta r(theta)^2 ,dtheta
Neste caso, a curva é descrita para theta de 0 a 2pi.

Passo 2

Aplicando a fórmula de área, temos
A = 12 integral0^2pi l(2 + 2sinthetar)^2 ,dtheta

Passo 3

Primeiro desenvolvemos o quadrado:
l(2 + 2sinthetar)^2 = 4 + 8sintheta + 4sin^2theta
Usando a identidade sin^2theta = tfrac1-cos2theta2, obtemos
4sin^2theta = 2 - 2cos2theta,
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r^2 = 4 + 8sintheta + (2 - 2cos2theta) = 6 + 8sintheta - 2cos2theta

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2pi:
integral0^2pi r^2,dtheta = integral0^2pi l(6 + 8sintheta - 2cos2thetar)dtheta
Separando termos:
integral0^2pi6,dtheta = 6cdot2pi = 12pi, integral0^2pi8sintheta,dtheta = 0, integral0^2pi(-2cos2theta),dtheta = 0
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integral0^2pir^2,dtheta = 12pi

Passo 5

Voltando à área:
A = 12 integral0^2pir^2,dtheta = 12cdot12pi = 6pi

Resposta

A área da região é 6pi.

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