Use a Fórmula (8) para calcular o comprimento de arco da curva polar.
r=sen^2(theta / 2) de theta=0 a theta=pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares
r = sin^2!l(tfractheta2r)
para theta variando de 0 a pi. Estamos em Cálculo de uma função dada em coordenadas polares e vamos usar a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares.

Passo 2

A fórmula geral para comprimento de arco em polares é
L = integralalpha^beta raizr^2 + l(drdthetar)^2,dtheta
Aqui alpha = 0 e beta = pi. Precisamos obter dr/dtheta.

Passo 3

Começando com
r = sin^2!l(tfractheta2r) = 1-costheta2,
derivamos em relação a theta:
drdtheta = ddthetal(tfrac1-costheta2r) = sintheta2

Passo 4

Substituindo em raizr^2 + (dr/dtheta)^2:
raizr^2 + l(drdthetar)^2 = raiz(1-costheta)^24 + sin^2theta4 = raiz(1-costheta)^2 + sin^2theta2 = raiz2 - 2costheta2 = raiz2,l(1-costhetar)2
Usando 1-costheta = 2sin^2(theta/2) e observando que em [0,pi] sin(theta/2)>=0, temos
raiz2(1-costheta)2 = raiz2cdot2sin^2(theta/2)2 = 2sin(theta/2)2 = sin!l(tfractheta2r)
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L = integral0^pi sin!l(tfractheta2r),dtheta

Passo 5

Calculando a integral
integral0^pi sin!l(tfractheta2r),dtheta = l[-2cos!l(tfractheta2r)r]0^pi = -2l(cos(tfracpi2) - cos(0)r) = -2(0 - 1) = 2

Resposta

O comprimento de arco é 2.

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