Determine a área da região descrita.
A região intema à rosácea r=2 a cos 2 theta e externa ao círculo r=a raiz2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que é interna à rosa em coordenadas polares
r = 2acos2theta
e externa ao círculo
r = araiz2
Para resolver, vamos usar integração em coordenadas polares e explorar a simetria dos “pétalas” da rosa.

Passo 2

Primeiro, achamos os ângulos de interseção entre as duas curvas resolvendo
2acos2theta = araiz2 Longrightarrow cos2theta = raiz22
que dá
2theta = pmpi4 + 2kpi Longrightarrow theta = pmpi8 + kpi

Passo 3

A rosa r=2acos2theta tem quatro pétalas, mas por simetria todas são congruentes. Em particular, a pétala centrada em theta=0 é descrita por
-pi4<=theta<=pi4,
e o círculo a corta em theta=pmpi8. Na parte dessa pétala que fica fora do círculo temos
-pi8<=theta<=pi8,
com r variando de rrm circ=araiz2 até rrm rosa=2acos2theta.

Passo 4

A área de um desses “gomos” (parte de uma pétala fora do círculo) é
A1 =integraltheta=-pi/8^pi/8 12l[(2acos2theta)^2 - (araiz2)^2r],dtheta
Dentro do integrando fazemos
(2acos2theta)^2 = 4a^2cos^2 2theta, (araiz2)^2 = 2a^2,
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A1 =12integral-pi/8^pi/8l(4a^2cos^2 2theta - 2a^2r),dtheta =a^2integral-pi/8^pi/8!l(2cos^2 2theta -1r),dtheta
Usando 2cos^2x-1=cos2x com x=2theta, o integrando vira cos4theta:
A1 =a^2integral-pi/8^pi/8cos4theta,dtheta =a^2l[tfrac14sin4thetar]-pi/8^pi/8 =a^24l(sintfracpi2-sin(-tfracpi2)r) =a^22

Passo 5

Como a rosa tem quatro pétalas idênticas e em cada pétala aparece exatamente um desses gomos fora do círculo, a área total é
Arm total = 4,A1 = 4cdota^22 = 2a^2

Resposta

A área da região interna à rosa r=2acos2theta e externa ao círculo r=araiz2 vale
boxed2a^2

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