Determine a área da região descrita.
A região intema à rosácea
e externa ao círculo
.
A região intema à rosácea
Passo 1
O enunciado pede a área da região que é interna à rosa em coordenadas polares
e externa ao círculo
Para resolver, vamos usar integração em coordenadas polares e explorar a simetria dos “pétalas” da rosa.
Passo 2
Primeiro, achamos os ângulos de interseção entre as duas curvas resolvendo
que dá
Passo 3
A rosa
tem quatro pétalas, mas por simetria todas são congruentes. Em particular, a pétala centrada em
é descrita por
e o círculo a corta em
. Na parte dessa pétala que fica fora do círculo temos
com
variando de
até
.
Passo 4
A área de um desses “gomos” (parte de uma pétala fora do círculo) é
Dentro do integrando fazemos
logo
Usando
com
, o integrando vira
:
Passo 5
Como a rosa tem quatro pétalas idênticas e em cada pétala aparece exatamente um desses gomos fora do círculo, a área total é
Resposta
A área da região interna à rosa
e externa ao círculo
vale