Mostre que a equação
é homogênea se, e somente se,
. [Dica: considere
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
é dita homogênea exatamente quando a função
satisfaz
para todo
. Aqui usamos o conceito de função homogênea de grau zero: aquela que, ao escalar os argumentos por
, não muda de valor.
Passo 2
Suponha primeiro que
para todo
. Em particular, escolha
assumindo
. Então
Como o lado esquerdo depende apenas de
, podemos definir
de modo que
Isto mostra que
é uma equação em que o campo de direção depende só da razão
, ou seja, é homogênea.
Passo 3
Agora, suponha que a equação seja homogênea, isto é, já saibamos que
para alguma função
. Então, para qualquer
,
Assim vemos diretamente que
.
Resposta
A equação
é homogênea se, e somente se,
para todo
.