Mostre que a equação d y / d x=f(x, y) é homogênea se, e somente se, f(t x, t y)= f(x, y). [Dica: considere t=1 / x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
dydx=f(x,y)
é dita homogênea exatamente quando a função f satisfaz
f(t,x,;t,y)=f(x,y)
para todo t. Aqui usamos o conceito de função homogênea de grau zero: aquela que, ao escalar os argumentos por t, não muda de valor.

Passo 2

Suponha primeiro que
f(t,x,;t,y)=f(x,y)
para todo t. Em particular, escolha
t=1x,
assumindo xneq0. Então
fl(1,; yxr) =fl(x,yr)
Como o lado esquerdo depende apenas de tfrac yx, podemos definir
g(u)=f(1,u),
de modo que
f(x,y)=gl( yxr)
Isto mostra que dydx=f(x,y) é uma equação em que o campo de direção depende só da razão y/x, ou seja, é homogênea.

Passo 3

Agora, suponha que a equação seja homogênea, isto é, já saibamos que
f(x,y)=gl( yxr)
para alguma função g. Então, para qualquer t,
f(t,x,;t,y) =g!l(t,yt,xr) =g!l( yxr) =f(x,y)
Assim vemos diretamente que f(t,x,t,y)=f(x,y).

Resposta

A equação dydx=f(x,y) é homogênea se, e somente se,
f(t,x,;t,y)=f(x,y)
para todo t.

Exercícios relacionados