Determine a área da região descrita.
A regiăo externa à cardióide r=2-2 cos theta e interna ao círculo r=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que, em coordenadas polares, fica entre a cardióide
rrm in = 2 - 2costheta
e o círculo
rrm out = 4
Para isso, vamos usar a fórmula de área em polares
A = integraltheta1^theta2 12l(rrm out^2 - rrm in^2r),dtheta

Passo 2

Precisamos saber para quais theta a cardióide está dentro do círculo, isto é, resolver
2 - 2costheta <= 4
Isso equivale a
-2costheta <= 2 Longrightarrow costheta >= -1,
o que vale para todo thetain[0,2pi]. Logo, a integração é em todo o intervalo 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Montamos a integral de área:
A = integral0^2pi 12l(4^2 - (2-2costheta)^2r),dtheta = 12integral0^2pil(16 - (2-2costheta)^2r),dtheta

Passo 4

Expandindo (2-2costheta)^2:
(2-2costheta)^2 = 4 - 8costheta +4cos^2theta
Logo o integrando fica
16 - l(4 - 8costheta +4cos^2thetar) = 12 +8costheta -4cos^2theta
Substituindo em A:
A = 12 integral0^2pil(12 +8costheta -4cos^2thetar),dtheta

Passo 5

Usando cos^2theta = tfrac1+cos2theta2, temos
-4cos^2theta = -2 -2cos2theta,
então o integrando vira
12 +8costheta -2 -2cos2theta = 10 +8costheta -2cos2theta
Ao integrar de 0 a 2pi, os termos em costheta e cos2theta se anulam, ficando
A = 12integral0^2pi10,dtheta = 12 cdot 10 cdot 2pi =10pi

Resposta

10pi

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