Nos problemas abaixo, resolva a equação.
\frac{d x}{d t}=3 x t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dxdt = 3,x,t^2
Esse é um caso clássico de equação diferencial separável, em que podemos agrupar todos os termos envolvendo x de um lado e os que envolvem t do outro.

Passo 2

Separe as variáveis x e t. Para isso, dividimos ambos os lados por x (supondo xneq0) e multiplicamos por dt:
1x,dx = 3,t^2,dt

Passo 3

Integre ambos os lados da igualdade:
integral 1x,dx = integral 3,t^2,dt
No lado esquerdo temos ln|x| e no direito integral 3,t^2,dt = t^3 + C, onde C é a constante de integração. Logo,
ln|x| = t^3 + C

Passo 4

Isolando x, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
|x| = e^t^3 + C = e^C,e^t^3
Definindo K = pm e^C, obtemos a solução geral
x(t) = K,e^t^3,
onde K é uma constante arbitrária real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x(t) = K,e^t^3,
com KinR.

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