Use a Fórmula (8) para calcular o comprimento de arco da curva polar.
r=sen^3(theta / 3) de theta=0 a theta=pi / 2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
r(theta)=l(sin(theta/3)r)^3, 0<=theta<=pi/2,
e pede o comprimento de arco. O conteúdo utilizado será a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares:
L=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2;dtheta

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada
r'(theta) =ddthetal[sin^3(tfractheta3)r] =3,sin^2(tfractheta3)cos(tfractheta3)cdottfrac13 =sin^2(tfractheta3)cos(tfractheta3)
Logo,
r(theta)^2+l(r'(theta)r)^2 =sin^6(tfractheta3) +sin^4(tfractheta3)cos^2(tfractheta3) =sin^4(tfractheta3)l[sin^2(tfractheta3)+cos^2(tfractheta3)r] =sin^4(tfractheta3)

Passo 3

Portanto, o integrando fica
raizr^2+r'^2 =raizsin^4(tfractheta3) =sin^2(tfractheta3),
e o comprimento de arco é
L=integral0^pi/2sin^2(tfractheta3),dtheta

Passo 4

Para integrar usamos a identidade sin^2x=(1-cos2x)/2 com x=theta/3:
sin^2(tfractheta3) =tfrac12l[1-cos(tfrac2theta3)r]
Então
L =integral0^pi/2tfrac12l[1-cos(tfrac2theta3)r],dtheta =tfrac12l[theta-integralcos(tfrac2theta3),dthetar]
Fazendo a substituição u=2theta/3, dtheta=tfrac32du, tem-se
integralcos(tfrac2theta3),dtheta =tfrac32integralcos u,du =tfrac32sin u =tfrac32sin(tfrac2theta3)
Logo o antiderivado é
F(theta) =tfrac12l[theta-tfrac32sin(tfrac2theta3)r]

Passo 5

Avaliaremos de theta=0 a theta=pi/2:
L =F(tfracpi2)-F(0) =tfrac12l[tfracpi2-tfrac32sin(tfracpi3)r]-0 =tfrac12l[tfracpi2-tfrac32cdottfracraiz32r] =tfracpi4-tfrac3raiz38

Resposta

L=pi4-3raiz38

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