Determine a área da região descrita.
A região interna à carrdióide r=2+2 cos theta e à direita da reta r cos theta=32.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica dentro da cardióide
r = 2 + 2costheta
e à direita da reta
rcostheta = tfrac32,,
ou seja, no semiplano x>= 3/2.
Para resolver, vamos usar coordenadas polares e a fórmula
A ;=;12 integraltheta1^theta2l(rexterno^2 - rinterno^2r),dtheta,

Passo 2

Encontramos os ângulos de interseção entre a cardióide e a reta resolvendo
(2+2costheta)costheta = tfrac32
Isto é
2costheta + 2cos^2theta = tfrac32 ;Longrightarrow; 4cos^2theta + 4costheta - 3 = 0 ;Longrightarrow; costheta = tfrac12,
já que a outra raiz costheta=-tfrac32 não é possível. Logo
theta = pm pi3

Passo 3

Para thetain[-tfracpi3,tfracpi3] a região está entre
rinterno = 3/2costheta
(equação da reta) e
rexterno = 2 + 2costheta
(cardióide). Assim
A =12integral-pi/3^pi/3l[l(2+2costhetar)^2 - l(tfrac32costhetar)^2r],dtheta

Passo 4

Por simetria, o integrando é par em theta, então
A =12cdot 2integral0^pi/3 l[(2+2costheta)^2 - 94cos^2thetar],dtheta =integral0^pi/3l[4+8costheta+4cos^2theta-94cos^2thetar],dtheta

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral0^pi/34,dtheta = 4theta, integral0^pi/38costheta,dtheta = 8sintheta,
integral0^pi/34cos^2theta,dtheta =4integral0^pi/31+cos2theta2,dtheta =2theta + sin2theta,
integral0^pi/3l(-94cos^2thetar),dtheta =-94integral0^pi/3sec^2theta,dtheta =-94tantheta
Somando tudo,
A =l[6theta + 8sintheta + sin2theta - tfrac94tanthetar]0^pi/3

Passo 6

Avaliação em theta=pi/3:
6cdottfracpi3=2pi, 8sintfracpi3=4raiz3, sintfrac2pi3=tfracraiz32, tantfracpi3=raiz3
Logo o valor é
2pi + 4raiz3 + tfracraiz32 - tfrac94raiz3 =2pi + 16raiz3 +2raiz3 -9raiz34 =2pi + 9raiz34

Resposta

A área da região é
boxed2pi + 9raiz34

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