Determine a área da região descrita.
A região interna à carrdióide
e à direita da reta
.
A região interna à carrdióide
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica dentro da cardióide
e à direita da reta
ou seja, no semiplano
.
Para resolver, vamos usar coordenadas polares e a fórmula
Para resolver, vamos usar coordenadas polares e a fórmula
Passo 2
Encontramos os ângulos de interseção entre a cardióide e a reta resolvendo
Isto é
já que a outra raiz
não é possível. Logo
Passo 3
Para
a região está entre
(equação da reta) e
(cardióide). Assim
Passo 4
Por simetria, o integrando é par em
, então
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo,
Passo 6
Avaliação em
:
Logo o valor é
Resposta
A área da região é