Determine a área da região descrita.
A região interna ao círculo r=3 sen theta e externa à cardióide r=1+sen theta.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica por dentro do círculo
r = 3sintheta
e por fora da cardioide
r = 1 + sintheta
Este é um problema de integração em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
A = 12 integraltheta1^theta2 l(rexterno^2 - rinterno^2r),dtheta,
onde theta1 e theta2 são os ângulos de interseção das duas curvas.

Passo 2

Para achar os ângulos de interseção, igualamos
3sintheta ;=; 1 + sintheta Longrightarrow 2sintheta = 1 Longrightarrow sintheta = tfrac12
Assim,
theta = pi6 ou theta = 5pi6

Passo 3

Precisamos saber em que intervalo o círculo está “por fora” da cardioide, ou seja, onde
3sintheta >= 1 + sintheta ;Long<=ftrightarrow; 2sintheta >= 1 ;Long<=ftrightarrow; sintheta >= tfrac12
Isso ocorre para
thetainl[tfracpi6,,tfrac5pi6r]
Logo, esses serão os limites de integração.

Passo 4

Dentro desse intervalo, rexterno=3sintheta e rinterno=1+sintheta. A área vale
A = 12 integralpi/6^5pi/6 l((3sintheta)^2 - (1+sintheta)^2r),dtheta = 12 integralpi/6^5pi/6 l(9sin^2theta - (1 + 2sintheta + sin^2theta)r),dtheta
A = 12 integralpi/6^5pi/6 l(8sin^2theta - 2sintheta - 1r),dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo, usando sin^2theta=(1-cos2theta)/2:
integral l(8sin^2theta - 2sintheta - 1r),dtheta = integral l(4(1-cos2theta) -2sintheta -1r),dtheta = 3theta -2sin2theta +2costheta + C
Avaliaremos de theta=pi/6 até theta=5pi/6:
F(theta)=3theta -2sin2theta +2costheta,
Fl(tfrac5pi6r)=tfrac15pi6 -2sintfrac5pi3 +2costfrac5pi6 = tfrac5pi2 -2l(-tfracraiz32r)+2l(-tfracraiz32r) = tfrac5pi2,
Fl(tfracpi6r)=tfrac3pi6 -2sintfracpi3 +2costfracpi6 = tfracpi2 -2l(tfracraiz32r)+2l(tfracraiz32r) = tfracpi2
A diferença é
Fl(tfrac5pi6r)-Fl(tfracpi6r) = tfrac5pi2 - tfracpi2 = 2pi,
logo a área final fica
A = 12 times 2pi = pi

Resposta

pi

Exercícios relacionados