Determine a área da região descrita.
A região interna ao círculo
e externa à cardióide
.
A região interna ao círculo
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica por dentro do círculo
e por fora da cardioide
Este é um problema de integração em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
onde
e
são os ângulos de interseção das duas curvas.
Passo 2
Para achar os ângulos de interseção, igualamos
Assim,
Passo 3
Precisamos saber em que intervalo o círculo está “por fora” da cardioide, ou seja, onde
Isso ocorre para
Logo, esses serão os limites de integração.
Passo 4
Dentro desse intervalo,
e
. A área vale
Passo 5
Integramos termo a termo, usando
:
Avaliaremos de
até
:
A diferença é
logo a área final fica