Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar para o valor dado de theta.
r=1 / theta ; theta=2

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva polar r = 1/theta em theta = 2. O conteúdo envolve derivadas em coordenadas polares e a aplicação da fórmula de tfracdydx em termos de r e tfracdrdtheta.

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a theta. Como r = theta^-1, temos
drdtheta = -,theta^-2 = -1theta^2

Passo 3

A fórmula geral para a inclinação em coordenadas polares é
dydx = drdtheta,sintheta ;+; r,costheta drdtheta,costheta ;-; r,sintheta
Substituindo r = 1/theta e tfracdrdtheta = -1/theta^2, obtemos
dydx = l(-tfrac1theta^2r)sintheta ;+; tfrac1thetacostheta l(-tfrac1theta^2r)costheta ;-; tfrac1thetasintheta

Passo 4

Agora avaliamos em theta=2. No numerador fica
-14sin2 + 12cos2,
e no denominador
-14cos2 - 12sin2
Multiplicando numerador e denominador por 4 para limpar frações, temos
dydx|theta=2 = -sin2 + 2cos2-cos2 - 2sin2
Fatorando -1 em cima e embaixo e cancelando, obtemos
dydx|theta=2 = sin2 - 2cos2cos2 + 2sin2

Resposta

dydx|theta=2 = sin2 - 2cos2cos2 + 2sin2

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