Determine área da região limitada pela curva y=tg^2 x pelo eixo x e pela reta x=pi4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pela curva y = tan^2 x , pelo eixo x e pela reta x = pi4 . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que é a parte da matemática que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a curva y = tan^2 x representa. A tangente ao quadrado de x é uma função que cresce à medida que x se aproxima de pi2 . Mas, como estamos limitando em pi4 , fica tranquilo.

Passo 3

Para achar a área desejada, precisamos calcular a integral da função y = tan^2 x entre os limites de x = 0 e x = pi4 . A integral nos dá a soma infinita das áreas de retângulos infinitesimais sob a curva.

Passo 4

Sabemos que tan^2 x pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica:
tan^2 x = sec^2 x - 1
Isso vai facilitar a integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar tan^2 x substituindo pela identidade:
integral tan^2 x , dx = integral (sec^2 x - 1) , dx
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 6

Integrando cada termo:
integral sec^2 x , dx = tan x
integral 1 , dx = x
Então, a integral completa fica:
tan x - x

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a pi4 :
[ tan x - x ]0^pi4 = ( tan pi4 - pi4 ) - ( tan 0 - 0 )

Passo 8

Calculando os valores:
tan pi4 = 1 e tan 0 = 0
Substituindo:
(1 - pi4) - (0 - 0) = 1 - pi4

Resposta

A área da região limitada é 1 - pi4 unidades quadradas.

Exercícios relacionados