Determine área da região limitada pela curva
pelo eixo
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que é a parte da matemática que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a curva
representa. A tangente ao quadrado de
é uma função que cresce à medida que
se aproxima de
. Mas, como estamos limitando em
, fica tranquilo.
Passo 3
Para achar a área desejada, precisamos calcular a integral da função
entre os limites de
e
. A integral nos dá a soma infinita das áreas de retângulos infinitesimais sob a curva.
Passo 4
Sabemos que
pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica:
Isso vai facilitar a integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar
substituindo pela identidade:
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de resolver.
Passo 6
Integrando cada termo:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 8
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
A área da região limitada é
unidades quadradas.