(2.5 \mathrm{pt}) \mathrm{Um} resistor de 10 \mathrm{M} / \Omega é ronectndo en série com um capacitor de 1 \mu F.
(a) Calcule a constante de tempo do circuito.
(b) Qual o intervalo de tempo necessário para que a carga no capacitor diminua até a metade da carga inicial?
Dados: \ln (1)=0: \ln 2=0,69.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série do tipo RC, com um resistor de 10\,\mathrm{M}\Omega em série com um capacitor de 1\,\mu\mathrm{F}. Precisamos:
  1. Calcular a constante de tempo \tau do circuito, definida por \tau = R\,C.
  2. Determinar o tempo t para que a carga do capacitor caia a metade da carga inicial, sabendo que na descarga q(t)=q_0 e^{-t/\tau}.

Passo 2

Vamos converter os valores para unidades básicas e calcular \tau:
R = 10\,\mathrm{M}\Omega = 10\times10^6\,\Omega,
C = 1\,\mu\mathrm{F} = 1\times10^{-6}\,\mathrm{F}.
Logo,
\tau = R\,C = \bigl(10\times10^6\bigr)\times\bigl(1\times10^{-6}\bigr) = 10\;\mathrm{s}.

Passo 3

Para a descarga, a carga varia como
q(t) = q_0\,e^{-t/\tau}.
Queremos q(t)=q_0/2, ou seja,
e^{-t/\tau} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{t}{\tau} = \ln\bigl(\tfrac12\bigr) = -\ln2 \quad\Longrightarrow\quad t = \tau\,\ln2.
Substituindo \tau=10\,\mathrm{s} e \ln2=0{,}69:
t = 10\times0{,}69 = 6{,}9\;\mathrm{s}.

Resposta

(a) \tau = 10\;\mathrm{s}.
(b) t = 6{,}9\;\mathrm{s}.

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