Determine a área da região limitada por y=x^2-3 x-4 e pelo eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^2 - 3x - 4 e pelo eixo x. O conteúdo que vamos usar é o cálculo de integral definida de uma função que fica abaixo do eixo para encontrar a área entre o gráfico e o eixo x.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção com o eixo x resolvendo
x^2 - 3x - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
x = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52,
isto é, x = -1 e x = 4.

Passo 3

Determinamos o sinal de f(x) = x^2 - 3x - 4 no intervalo [-1,4]. O vértice está em x = tfrac32 e
fl(tfrac32r) = l(tfrac32r)^2 - 3cdottfrac32 - 4 = -tfrac254 < 0,
logo f(x) é negativa em todo o intervalo entre as raízes.

Passo 4

Como f(x)<=0 em [-1,4], a área pedida é
integral-1^4 l|f(x)r|,dx = integral-1^4 l[-l(x^2-3x-4r)r],dx = integral-1^4 l(-x^2+3x+4r),dx

Passo 5

Calculamos a primitiva de -x^2+3x+4:
F(x) = -x^33 + 3x^22 + 4x
Avaliaremos F(4) - F(-1):
F(4) = -643 + 3cdot162 + 16 = -643 + 40 = 563,
F(-1) = -!gl(-13gr) + 3cdot12 - 4 = 13 + 32 - 4 = -136
Portanto,
integral-1^4 l(-x^2+3x+4r),dx = F(4) - F(-1) = 563 - l(-136r) = 1256

Resposta

A área da região é 1256.

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