Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(a) dd x[(x^2+4)^6]
(b) dd x((1+cos ^2 x)^47)
(c) dd x(sen(x^2)+sen^2 x)
(d) (raizx+raizx)^prime
(e) dd a(8^a^2+cos (8 a))
(f) dd t[(t-1t)^3 / 2]
(g) dd x[(2 x+1)^x]
(h) dd x(raizx^2+e^raizx)
(i) (x^x^x)^prime
(j) [sec (raizx^2+1)]^prime
(k) [ln (ln x)]^prime
(l) (sen(x-sen x))^prime.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a regra da cadeia, as derivadas dos itens (a) a (l). O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções compostas, incluindo potências, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

A regra da cadeia afirma que, se y = f(u) e u = g(x), então
y' = f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 3

No caso de potências, isto é, para
y = l(g(x)r)^n,
temos
y' = nl(g(x)r)^n-1 cdot g'(x)

Passo 4

(a) Para y=(x^2+4)^6 usamos o caso da potência com g(x)=x^2+4 e n=6. Logo
y' = 6(x^2+4)^5 cdot (2x) = 12x (x^2+4)^5

Passo 5

(b) Para y=(1+cos^2 x)^47 aplicamos duas vezes a cadeia: primeiro com n=47 e g(x)=1+cos^2 x, depois dentro de g(x). Assim
y' = 47(1+cos^2 x)^46 cdot l(2cos xcdot(-sin x)r) = -94cos x,sin x,(1+cos^2 x)^46

Passo 6

(c) Para y=sen(x^2)+sen^2 x derivamos termo a termo. No primeiro termo use-se a cadeia com g(x)=x^2:
tfracddxsen(x^2)=cos(x^2)cdot2x.
No segundo, é potência com n=2 e g(x)=sen x:
tfracddxsen^2 x=2sen xcdotcos x.
Somando,
y' = 2xcos(x^2) + 2sen x,cos x = 2xcos(x^2) + sen(2x)

Passo 7

(d) Para y=raizx+raizx=(x+x^1/2)^1/2 aplicamos a cadeia dupla. Primeiro
tfracddx(u)^1/2=tfrac12u^-1/2u' com u=x+x^1/2, cujo u'=1+tfrac12raizx.
Logo
y'=12(x+raizx)^-1/2l(1+12raizxr) =2raizx+14raizx,raizx+raizx

Passo 8

(e) Para y=8^a^2+cos(8a) derivamos termo a termo. No primeiro, 8^a^2=e^a^2ln8
tfracdda8^a^2=8^a^2cdot2aln8.
No segundo, tfracddacos(8a)=-sin(8a)cdot8.
Assim
y'=2aln8;8^a^2-8sin(8a)

Passo 9

(f) Para y=(t-tfrac1t)^3/2 usamos potência com n=tfrac32 e g(t)=t- t^-1:
y'=32(t-tfrac1t)^1/2cdotl(1+ t^-2r)

Passo 10

(g) Para y=(2x+1)^x reescrevemos como y=e^xln(2x+1). Logo
y' = y;ddxl[xln(2x+1)r] =(2x+1)^xl(ln(2x+1)+x22x+1r)

Passo 11

(h) Para y=raizx^2+e^raizx seja u=x^2+e^raizx. Então
tfracddxraizu=tfrac12raizuu', com
u'=2x + e^raizxcdot12raizx
Logo
y'=2x + tfrace^raizx2raizx2raizx^2+e^raizx

Passo 12

(i) Para y=x^x^x note que ln y = x^xln x. Logo
y' = y;ddxl[x^xln xr] = x^x^xl[underbracex^x(ln x+1)(x^x)'ln x + x^xcdot1xr]

Passo 13

(j) Para y=secl(raizx^2+1r) aplicamos tfracddxsec v=sec vtan vcdot v' com v=raizx^2+1 e v'=tfracxraizx^2+1.
Portanto
y' = sec(raizx^2+1),tan(raizx^2+1);xraizx^2+1

Passo 14

(k) Para y=ln(ln x) temos primeira a cadeia tfracddxln u=tfrac1u u' com u=ln x e u'=tfrac1x. Assim
y' = 1ln xcdot1x = 1xln x

Passo 15

(l) Para y=senl(x-sen xr) aplicamos tfracddxsen v=cos vcdot v' com v=x-sen x e v'=1-cos x. Logo
y' = cosl(x-sen xr),(1-cos x)

Resposta

(a) 12x(x^2+4)^5
(b) -94cos x,sin x,(1+cos^2 x)^46
(c) 2xcos(x^2)+sen(2x)
(d) 2raizx+14raizx,raizx+raizx
(e) 2aln8;8^a^2-8sin(8a)
(f) tfrac32(t-tfrac1t)^1/2(1+t^-2)
(g) (2x+1)^xl(ln(2x+1)+tfrac2x2x+1r)
(h) 2x + tfrace^raizx2raizx2raizx^2+e^raizx
(i) x^x^xl[x^x(ln x+1)ln x + x^x1xr]
(j) x,sec(raizx^2+1),tan(raizx^2+1)raizx^2+1
(k) 1xln x
(l) cos(x-sen x),(1-cos x)

Exercícios relacionados