Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) .
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a regra da cadeia, as derivadas dos itens (a) a (l). O conteúdo envolvido é a diferenciação de funções compostas, incluindo potências, funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
A regra da cadeia afirma que, se e , então
Passo 3
No caso de potências, isto é, para
temos
Passo 4
(a) Para usamos o caso da potência com e . Logo
Passo 5
(b) Para aplicamos duas vezes a cadeia: primeiro com e , depois dentro de . Assim
Passo 6
(c) Para derivamos termo a termo. No primeiro termo use-se a cadeia com : .
No segundo, é potência com e : .
Somando,
Passo 7
(d) Para aplicamos a cadeia dupla. Primeiro com , cujo .
Logo
Passo 8
(e) Para derivamos termo a termo. No primeiro, dá .
No segundo, .
Assim
Passo 9
(f) Para usamos potência com e :
Passo 10
(g) Para reescrevemos como . Logo
Passo 11
(h) Para seja . Então , com
Logo
Passo 12
(i) Para note que . Logo
Passo 13
(j) Para y=secl(raizx^2+1r) aplicamos tfracddxsec v=sec vtan vcdot v' com v=raizx^2+1 e v'=tfracxraizx^2+1.
Portanto
y' = sec(raizx^2+1),tan(raizx^2+1);xraizx^2+1
Passo 14
(k) Para y=ln(ln x) temos primeira a cadeia tfracddxln u=tfrac1u u' com u=ln x e u'=tfrac1x. Assim
y' = 1ln xcdot1x = 1xln x
Passo 15
(l) Para y=senl(x-sen xr) aplicamos tfracddxsen v=cos vcdot v' com v=x-sen x e v'=1-cos x. Logo