Encontre os intervalos nos quais f é crescente e decrescente. Classifique os números críticos. O gráfico de f possui algum ponto de inflexão?
8) f(x)=(x^2-1)^3

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x) = (x^2 - 1)^3
é crescente ou decrescente, classificar seus números críticos e verificar se há ponto de inflexão. Vamos usar derivadas: a primeira para monotonicidade e classificação, e a segunda para inflexão.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia. Se u(x)=x^2-1, então f(x)=u(x)^3 e
f'(x) = 3,u(x)^2cdot u'(x) = 3(x^2-1)^2cdot 2x = 6x,(x^2-1)^2

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
6x,(x^2-1)^2 = 0
isso dá
x=0, x^2-1=0implies x=pm1
Como f' é polinomial, não há pontos de descontinuidade.

Passo 4

Fazemos o quadro de sinal de f'(x)=6x,(x^2-1)^2. Note que (x^2-1)^2>=0 e só zera em x=pm1. Assim o sinal de f' é o sinal de x:
  • Para x<0, f'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>0, f'(x)>0 (crescente).
    Logo
f é decrescente em (-infty,0) e f é crescente em (0,infty) éé
Em x=0 a derivada muda de negativa para positiva, logo há mínimo local em x=0. Em x=pm1 a derivada não muda de sinal (fica negativa para x< -1 e para -1<x<0; fica positiva para 0<x<1 e para x>1), portanto em x=pm1 não há máximo nem mínimo (são pontos de sela).

Passo 5

Para checar inflexão, calculamos a segunda derivada. A partir de
f'(x)=6x,(x^2-1)^2
usando produto,
f''(x) =6,(x^2-1)^2 + 6xcdot 2(x^2-1)cdot 2x =6(x^2-1)l((x^2-1)+4x^2r) =6(x^2-1)(5x^2-1)
Zeram f'' os pontos x=pm1 e x=pm1raiz5. Ao analisar o sinal de f'' nota-se mudança de sinal em cada um desses pontos, logo todos são pontos de inflexão.

Resposta

Intervalos de monotonicidade:
f é decrescente em (-infty,0) e crescente em (0,infty).
Números críticos:
x=-1 (ponto de sela), x=0 (mínimo local), x=1 (ponto de sela) í
Pontos de inflexão:
x = -1,; x=-tfrac1raiz5,; x=+tfrac1raiz5,; x=1

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