Encontre os intervalos nos quais
é crescente e decrescente. Classifique os números críticos. O gráfico de
possui algum ponto de inflexão?
8)
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Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função
é crescente ou decrescente, classificar seus números críticos e verificar se há ponto de inflexão. Vamos usar derivadas: a primeira para monotonicidade e classificação, e a segunda para inflexão.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando a regra da cadeia. Se
, então
e
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
isso dá
Como
é polinomial, não há pontos de descontinuidade.
Passo 4
Fazemos o quadro de sinal de
. Note que
e só zera em
. Assim o sinal de
é o sinal de
:
- Para
, (decrescente). - Para
, (crescente).
Logo
Em
a derivada muda de negativa para positiva, logo há mínimo local em
. Em
a derivada não muda de sinal (fica negativa para
e para
; fica positiva para
e para
), portanto em
não há máximo nem mínimo (são pontos de sela).
Passo 5
Para checar inflexão, calculamos a segunda derivada. A partir de
usando produto,
Zeram
os pontos
e
. Ao analisar o sinal de
nota-se mudança de sinal em cada um desses pontos, logo todos são pontos de inflexão.
Resposta
Intervalos de monotonicidade:
f é decrescente em e crescente em
.
Números críticos:
f é decrescente em
Números críticos:
Pontos de inflexão: