Determine a área da regiaõ limitada pelas retas:
y=x, y=3 x e x+y=4

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano delimitada pelas retas
y = x, y = 3x, x + y = 4
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos encontrar os vértices dessa região (interseções das retas) e, em seguida, usar a fórmula da área de um triângulo dado pelos seus vértices.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção dois a dois:
  1. Interseção de y = x com y = 3x. Substituindo y=x em y=3x
x = 3x ;Longrightarrow; x=0, y=0
Logo, um vértice é (0,0).
  1. Interseção de y = x com x + y = 4. Substituindo y=x em x+y=4
x + x = 4 ;Longrightarrow; x=2, y=2
Outro vértice é (2,2).
  1. Interseção de y = 3x com x + y = 4. Substituindo y=3x em x+y=4
x + 3x = 4 ;Longrightarrow; x=1, y=3
O terceiro vértice é (1,3).

Passo 3

Assim, os vértices do triângulo são
P1=(0,0), P2=(2,2), P3=(1,3)
Para calcular a área A de um triângulo cujos vértices são P1, P2 e P3, podemos usar a fórmula do determinante:
A =12l| (x2-x1)(y3-y1) - (x3-x1)(y2-y1)r|

Passo 4

Tomando P1=(0,0), temos
(x2-x1,y2-y1)=(2,2),(x3-x1,y3-y1)=(1,3)
O valor absoluto do “produto vetorial” em dimensão 2 é
l|2cdot3 - 1cdot2r| = l|6 - 2r| = 4
Logo
A = 12 cdot 4 = 2

Resposta

A área da região é ;2;.

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