A seguinte integral não pode ser calculada exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integraçaõ dada:
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x
Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^2integral0^4 - x^2x,e^2y4 - y,dy,dx
mas nota que com esta ordem não dá pra achar uma primitiva elementar. O conteúdo aqui é inverter a ordem de integração em integrais duplas para simplificar.

Passo 2

A região de integração D é
D = (x,y)mid 0 <= x <= 2,;0 <= y <= 4 - x^2
Em um esboço, é a parte no primeiro quadrante sob a parábola y = 4 - x^2 e acima do eixo y=0, com x até 2.

Passo 3

Para inverter, vemos que y varia de 0 até o ponto máximo da parábola em y=4. Para cada y fixo, x vai de 0 até a raiz positiva de 4 - x^2=y, ou seja x=raiz4-y. Assim
I = integraly=0^4integralx=0^raiz4-yx,e^2y4-y,dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro
integral0^raiz4-yx,dx =x^22|0^raiz4-y =4-y2
Substituindo em I:
I =integral0^4e^2y4-y,4-y2,dy =12integral0^4e^2y,dy

Passo 5

Agora só falta integrar em y:
12integral0^4e^2y,dy =12[e^2y2]0^4 =14l(e^8-1r)

Resposta

boxedI = e^8-14

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