Mostre que:
nabla times(f u)=f nabla times u+(nabla f) times u

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade de cálculo vetorial que envolve o rotacional (curl) de um produto de um escalar f por um campo vetorial u:
nabla times(f,u) = f,(nabla times u) + (nabla f)times u
O conteúdo aqui é produto escalar e vetorial em operações diferenciais, usando a regra do produto e a definição de rotacional.

Passo 2

Vamos usar a definição em componentes do rotacional. Se v=(v1,v2,v3), então
(nablatimes v)i = varepsilonijk,partialj vk,
onde varepsilonijk é o símbolo de Levi-Civita e partialj=partialpartial xj. Também usaremos a regra do produto para derivadas:
partialjl(f,ukr) = (partialj f),uk + f,(partialj uk)

Passo 3

Aplicando a definição ao campo v=f,u, temos em cada componente i:
(nablatimes(fu))i = varepsilonijk,partialjl(f,ukr)
Pela regra do produto,
partialjl(f,ukr) = (partialj f),uk + f,partialj uk,
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(nablatimes(fu))i = varepsilonijkl((partialj f),uk + f,partialj ukr)

Passo 4

Separe os dois termos na soma:
(nablatimes(fu))i = varepsilonijk(partialj f),uk + varepsilonijk,f,partialj uk
No primeiro termo reconhecemos o componente i de (nabla f)times u, pois
l((nabla f)times ur)i = varepsilonijk(partialj f),uk
No segundo termo sai o escalar f e sobra a definição de rotacional de u:
f,varepsilonijk,partialj uk = f,(nablatimes u)i

Passo 5

Juntando os dois resultados em cada componente, obtemos
(nablatimes(fu))i = l((nabla f)times ur)i + f,(nablatimes u)i
Isso vale para i=1,2,3, portanto em forma vetorial:
nabla times(f,u) = f,(nabla times u) + (nabla f)times u

Resposta

nabla times(f,u) = f,(nabla times u) + (nabla f)times u

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