Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a identidade de cálculo vetorial que envolve o rotacional (curl) de um produto de um escalar
por um campo vetorial
:
O conteúdo aqui é produto escalar e vetorial em operações diferenciais, usando a regra do produto e a definição de rotacional.
Passo 2
Vamos usar a definição em componentes do rotacional. Se
, então
onde
é o símbolo de Levi-Civita e
. Também usaremos a regra do produto para derivadas:
Passo 3
Aplicando a definição ao campo
, temos em cada componente
:
Pela regra do produto,
logo
Passo 4
Separe os dois termos na soma:
No primeiro termo reconhecemos o componente
de
, pois
No segundo termo sai o escalar
e sobra a definição de rotacional de
:
Passo 5
Juntando os dois resultados em cada componente, obtemos
Isso vale para
, portanto em forma vetorial: