Questão 6. Seja s a reta que passa pelo ponto e é paralela à reta
Se P(m, n,-5) in s, determinar m e n.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta chamada s que passa pelo ponto [A(4, -3, -2)) e que é paralela a outra reta chamada r. A reta r está descrita pelas equações:
O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de m e n para o ponto (P(m, n, -5)] que está na reta s.
Conteúdo envolvido: Geometria Analítica, Equações Paramétricas de Retas, Vetores Diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o vetor diretor da reta r. Nas equações paramétricas da reta r, os coeficientes de t mostram a direção da reta. Então, o vetor diretor de r é:
dr = (3, -4, -1)
Passo 3
Como a reta s é paralela à reta r, ela vai ter o mesmo vetor diretor. Portanto, o vetor diretor da reta s também é:
ds = (3, -4, -1)
Passo 4
Agora, sabemos que a reta s passa pelo ponto A(4, -3, -2) e tem o vetor diretor ds = (3, -4, -1) . Podemos escrever as equações paramétricas da reta s usando um parâmetro, digamos k:
x = 4 + 3k y = -3 - 4k z = -2 - k
Passo 5
Queremos encontrar o ponto P(m, n, -5) que está na reta s. Sabemos que a coordenada z de P é -5. Vamos usar a equação de z da reta s para achar k:
-2 - k = -5
Resolvendo para k:
k = 3
Passo 6
Com o valor de k = 3, vamos substituir nas equações de x e y para encontrar m e n: