Questão 6. Seja s a reta que passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta
r:l x=1+3 t y=2-4 t com t in R z=3-t
Se P(m, n,-5) in s, determinar m e n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta chamada s que passa pelo ponto [A(4, -3, -2)) e que é paralela a outra reta chamada r. A reta r está descrita pelas equações:
O que a gente precisa fazer é encontrar os valores de m e n para o ponto (P(m, n, -5)] que está na reta s.
Conteúdo envolvido: Geometria Analítica, Equações Paramétricas de Retas, Vetores Diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o vetor diretor da reta r. Nas equações paramétricas da reta r, os coeficientes de t mostram a direção da reta. Então, o vetor diretor de r é:
dr = (3, -4, -1)

Passo 3

Como a reta s é paralela à reta r, ela vai ter o mesmo vetor diretor. Portanto, o vetor diretor da reta s também é:
ds = (3, -4, -1)

Passo 4

Agora, sabemos que a reta s passa pelo ponto A(4, -3, -2) e tem o vetor diretor ds = (3, -4, -1) . Podemos escrever as equações paramétricas da reta s usando um parâmetro, digamos k:
x = 4 + 3k y = -3 - 4k z = -2 - k

Passo 5

Queremos encontrar o ponto P(m, n, -5) que está na reta s. Sabemos que a coordenada z de P é -5. Vamos usar a equação de z da reta s para achar k:
-2 - k = -5
Resolvendo para k:
k = 3

Passo 6

Com o valor de k = 3, vamos substituir nas equações de x e y para encontrar m e n:
m = 4 + 3 times 3 = 4 + 9 = 13
n = -3 - 4 times 3 = -3 - 12 = -15

Resposta

Os valores são m = 13 e n = -15 .

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