Questão 7. Determinar a equação vetorial e as equações paramétricas e simétricas (caso existam!) da reta que passa pelos pontos e nos seguintes casos: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e, se possível, as equações simétricas da reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e coordenadas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço é definida por um ponto por onde ela passa e um vetor diretor, que indica a direção da reta. Nesse caso, podemos escolher um dos pontos dados como ponto de referência e calcular o vetor diretor usando as coordenadas dos pontos e .
Passo 3
Vamos calcular o vetor diretor . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Então, o vetor diretor é .
Passo 4
Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
r = r0 + t cdot v
Onde:
r é o vetor posição genérico de um ponto na reta.
r0 é o vetor posição de um ponto conhecido na reta (vamos usar o ponto A ).
t é um parâmetro real.
v é o vetor diretor.
Substituindo os valores:
r = 1 2 3 + t cdot 2 -4 -1
Passo 5
Agora, vamos separar a equação vetorial em equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada x , y e z em função do parâmetro t :
x = 1 + 2t y = 2 - 4t z = 3 - t
Essas são as equações paramétricas da reta.
Passo 6
Para encontrar as equações simétricas, precisamos eliminar o parâmetro t das equações paramétricas. A forma geral das equações simétricas é:
x - x0vx = y - y0vy = z - z0vz
Substituindo os valores que temos:
x - 12 = y - 2-4 = z - 3-1
Resposta
As equações da reta que passa pelos pontos A(1,2,3) e B(3,-2,2) são: