Questão 7. Determinar a equação vetorial e as equações paramétricas e simétricas (caso existam!) da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
A(1,2,3) e B(3,-2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e, se possível, as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A(1,2,3) e B(3,-2,2) . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e coordenadas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço é definida por um ponto por onde ela passa e um vetor diretor, que indica a direção da reta. Nesse caso, podemos escolher um dos pontos dados como ponto de referência e calcular o vetor diretor usando as coordenadas dos pontos A e B .

Passo 3

Vamos calcular o vetor diretor AB . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B :
AB = (3-1, -2-2, 2-3) = (2, -4, -1)
Então, o vetor diretor é v = 2 -4 -1 .

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
r = r0 + t cdot v
Onde:
  • r é o vetor posição genérico de um ponto na reta.
  • r0 é o vetor posição de um ponto conhecido na reta (vamos usar o ponto A ).
  • t é um parâmetro real.
  • v é o vetor diretor.
Substituindo os valores:
r = 1 2 3 + t cdot 2 -4 -1

Passo 5

Agora, vamos separar a equação vetorial em equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada x , y e z em função do parâmetro t :
x = 1 + 2t y = 2 - 4t z = 3 - t
Essas são as equações paramétricas da reta.

Passo 6

Para encontrar as equações simétricas, precisamos eliminar o parâmetro t das equações paramétricas. A forma geral das equações simétricas é:
x - x0vx = y - y0vy = z - z0vz
Substituindo os valores que temos:
x - 12 = y - 2-4 = z - 3-1

Resposta

As equações da reta que passa pelos pontos A(1,2,3) e B(3,-2,2) são:
  • Equação Vetorial:
r = 1 2 3 + t cdot 2 -4 -1
  • Equações Paramétricas:
x = 1 + 2t y = 2 - 4t z = 3 - t
  • Equações Simétricas:
x - 12 = y - 2-4 = z - 3-1

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