Determine a área da região limitadas pelas curvas:

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
C1:2x=y^2+2
e
C2:x=y+5
O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas em função de y. Vamos usar a fórmula
A=integraly1^y2l(xdireita-xesquerdar),dy

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
y^2+22=y+5
que dá
y^2+2=2y+10 Longrightarrow y^2-2y-8=0
As raízes são
y=2pmraiz4+322=4,,-2
Logo, a região varia de y=-2 a y=4.

Passo 3

Para um y fixo, o limite esquerdo é dado por C1, ou seja
xesq=y^2+22,
e o limite direito é dado por C2, ou seja
xdir=y+5
A distância horizontal é
xdir-xesq =y+5-y^2+22 =y+4-y^22

Passo 4

O cálculo da área fica então
A=integral-2^4l(y+4-y^22r),dy
Para integrar, separamos termos:
integrall(y+4-tfracy^22r)dy =y^22+4y-y^36

Passo 5

Avaliaremos de -2 a 4:
F(y)=y^22+4y-y^36,
F(4)=162+16-646=8+16-323=403, F(-2)=42-8-l(-86r)=2-8+43=-6+43=-143
Então
A=F(4)-F(-2)=403-l(-143r)=543=18

Resposta

A área da região é 18 unidades de área.

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