Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
Passo 1
Vamos estudar f(x)=
para achar extremos locais e pontos de inflexão. Precisamos da primeira derivada para identificar pontos críticos e da segunda derivada para classificar esses pontos e ver a concavidade.
Passo 2
Derivando por quociente ou produto, obtemos a primeira derivada:
Os pontos críticos vêm de
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada para classificar máximos e mínimos:
Em
Em
Passo 4
Para pontos de inflexão, resolvemos
:
dá
.
Fazendo o quadro de sinais de :
intervalo (−∞,−√3):
(−√3,0):
(0,√3):
(√3,∞): .
Como muda de sinal em cada raiz, todos são pontos de inflexão.
Fazendo o quadro de sinais de
intervalo (−∞,−√3):
(−√3,0):
(0,√3):
(√3,∞):
Como muda de sinal em cada raiz, todos são pontos de inflexão.
Passo 5
Fazendo as imagens:
f(1)=1/2
f(−1)=−1/2
f(0)=0
f(±√3)=±√3/4
Pronto, temos máximos, mínimos e inflexões.
f(1)=1/2
f(−1)=−1/2
f(0)=0
f(±√3)=±√3/4
Pronto, temos máximos, mínimos e inflexões.
Resposta
Máximo local em
, mínimo local em
. Pontos de inflexão em
,
e
.