Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
f(x)=x1+x^2

Passo 1

Vamos estudar f(x)= x1+x^2 para achar extremos locais e pontos de inflexão. Precisamos da primeira derivada para identificar pontos críticos e da segunda derivada para classificar esses pontos e ver a concavidade.

Passo 2

Derivando por quociente ou produto, obtemos a primeira derivada:
f'(x)=(1+x^2)-xcdot2x(1+x^2)^2=1-x^2(1+x^2)^2
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou onde f' não existe. Aqui 1-x^2=0 x=pm1 e o denominador nunca zera. Então os únicos pontos críticos são x=-1 e x=1.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada para classificar máximos e mínimos:
f''(x)=-2x3-x^2(1+x^2)^3
Em x=1 temos f''(1)=-2cdot1cdot(3-1)/(2^3)=-1/2<0, logo é máximo local.
Em x=-1 temos f''(-1)=-2(-1)(3-1)/(2^3)=+1/2>0, logo é mínimo local.

Passo 4

Para pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
-2x(3-x^2)=0 x=0,pmraiz3.
Fazendo o quadro de sinais de f'':
intervalo (−∞,−√3): f''<0
(−√3,0): f''>0
(0,√3): f''<0
(√3,∞): f''>0.
Como muda de sinal em cada raiz, todos são pontos de inflexão.

Passo 5

Fazendo as imagens:
f(1)=1/2
f(−1)=−1/2
f(0)=0
f(±√3)=±√3/4
Pronto, temos máximos, mínimos e inflexões.

Resposta

Máximo local em (1,tfrac12), mínimo local em (−1,−tfrac12). Pontos de inflexão em (−√3,−tfrac√34), (0,0) e (√3,tfrac√34).

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