Seja f: R^2-(0,0) R a função definida por f(x, y)=3 x^4 y^4(x^2+y^2)^3. Calcule os limites de f(x, y) quando (x, y) (0,0) ao logo dos caminhos
(a) eixo x
(b) a reta y=x
(c) a parábola y=x^2.
A função f tem limite em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3x^4y^4(x^2+y^2)^3 definida em R^2setminus(0,0),
e pede os limites de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) pelos caminhos (a) eixo x, (b) reta y=x e (c) parábola y=x^2. Depois, quer saber se o limite em (0,0) existe.

Passo 2

Pelo eixo x temos y=0. Então
f(x,0)=3x^4cdot0^4(x^2+0)^3=0
para todo xneq0. Logo
limxto0f(x,0)=0

Passo 3

Na reta y=x substituímos y=x:
f(x,x) =3x^4x^4(x^2+x^2)^3 =3x^8(2x^2)^3 =3x^88x^6 =38x^2
Assim
limxto0f(x,x) =limxto038x^2 =0

Passo 4

Na parábola y=x^2 fazemos y=x^2:
f(x,x^2) =3x^4(x^2)^4(x^2+x^4)^3 =3x^4x^8x^6(1+x^2)^3 =3x^12x^6(1+x^2)^3 =3x^6(1+x^2)^3
Logo
limxto0f(x,x^2) =limxto03x^6(1+x^2)^3 =0

Passo 5

Para ver se o limite existe de fato, use polar: x=rcostheta, y=rsintheta. Então
f(r,theta) =3(rcostheta)^4(rsintheta)^4(r^2)^3 =3r^8cos^4thetasin^4thetar^6 =3r^2cos^4thetasin^4theta
Como cos^4thetasin^4theta é limitada em [0,2pi], ao fazer rto0 vem
f(r,theta)to0
independentemente de theta. Portanto o limite existe e vale zero.

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) 0
O limite de f(x,y) em (0,0) existe e é igual a 0.

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