Esboce e calcule, por integração tripla, o volume do sólido interseção das esferas:

Passo 1

O exercício pede o volume da interseção das esferas x^2+y^2+z^2<=1 (raio 1 na origem) e x^2+y^2+z^2<=2z (raio 1 centrada em (0,0,1)). Vamos usar coordenadas esféricas e integração tripla.

Passo 2

Em coordenadas esféricas centradas na origem definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A primeira esfera impõe 0<=rho<=1. A segunda, x^2+y^2+z^2<=2z, vira rho^2<=2rhocosphi ou rho<=2cosphi. Assim rho<=min(1,2cosphi).

Passo 3

Notamos que 2cosphi>=1 quando 0<=phi<=pi/3, então aí rho<=1. Para pi/3<=phi<=pi/2 temos 0<=2cosphi<=1, então rho<=2cosphi. Portanto dividimos a integral em duas partes e theta vai de 0 a 2pi:
V=integral0^2pigl(integral0^pi/3integral0^1rho^2sinphi,drho,dphi+integralpi/3^pi/2integral0^2cosphirho^2sinphi,drho,dphigr)dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro integral0^arho^2,drho=a^3/3. Então
V=2pil[integral0^pi/31^33sinphi,dphi+integralpi/3^pi/2(2cosphi)^33sinphi,dphir]
Fazendo as integrais de phi obtemos
integral0^pi/3sinphi,dphi=tfrac12, integralpi/3^pi/28cos^3phisinphi,dphi=tfrac18
Substituindo e simplificando dá V=tfrac5pi12.

Resposta

(\frac{5\pi}{12})

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