Esboce a região de integração e calcule a integral mudando previamente para coordenadas polares

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^22l(1+x^2+y^2r)^2,dy,dx
no interior do círculo x^2+y^2<=1, usando coordenadas polares. Vamos precisar
  • reconhecer que a região é o disco de raio 1 centrado na origem,
  • usar a mudança (x,y)mapsto(rcostheta,rsintheta),
  • aplicar o Jacobiano dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Esboço e descrição da região:
A região de integração é o disco
x^2+y^2<=1,
ou seja, em coordenadas polares
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi

Passo 3

Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e
dA = dx,dy = r,dr,dtheta
O integrando fica
2l(1+x^2+y^2r)^2 =2(1+r^2)^2,
logo a integral dupla vira
integral0^2piintegral0^12(1+r^2)^2;r,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^12r(1+r^2)^2,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integral0^12r(1+r^2)^2,dr
Fazemos a substituição u=1+r^2, daí du=2r,dr. Quando r=0, u=1; quando r=1, u=2. Assim
integral0^12r(1+r^2)^2,dr =integralu=1^21u^2,du =l[-u^-1r]1^2 =-tfrac12+1 =tfrac12

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^2pil(tfrac12r),dtheta =tfrac12cdot2pi =pi

Resposta

pi

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