Determine a área da região entre a parábola dada por y=x^{2}-1 e o eixo x de:
\mathrm{x}=-3 até \mathrm{x}=-1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^{2} - 1 e o eixo x, entre x=-3 e x=-1. O conteúdo necessário é cálculo de área por integral definida, lembrando que, se a curva está acima do eixo x, a área é simplesmente
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

Passo 2

Precisamos checar o sinal de y = x^{2} - 1 em [-3,-1]. Para \lvert x\rvert\ge1 tem-se x^{2}-1\ge0. Como em todo o intervalo \lvert x\rvert está entre 1 e 3, a parábola fica acima (ou sobre) o eixo x. Logo a área é
A = \int_{-3}^{-1} \bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos computar a integral:
A = \int_{-3}^{-1} x^{2}\,dx \;-\;\int_{-3}^{-1}1\,dx.

Passo 4

As primitivas são
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \qquad \int 1\,dx = x.
Portanto
A = \Bigl[\frac{x^{3}}{3} - x\Bigr]_{-3}^{-1}.

Passo 5

Calculando nos extremos:
Para x=-1:
\frac{(-1)^{3}}{3} - (-1) = -\tfrac{1}{3} + 1 = \tfrac{2}{3}.
Para x=-3:
\frac{(-3)^{3}}{3} - (-3) = -9 + 3 = -6.
Então
A = \tfrac{2}{3} - (-6) = \tfrac{2}{3} + 6 = \tfrac{20}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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