Determine a área da região entre a parábola dada por y=x^{2}-1 e o eixo x de:
\mathrm{x}=1 até \mathrm{x}=3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^2 - 1 e o eixo x no intervalo de x=1 até x=3. O conteúdo aqui é cálculo de área por integral definida, usando que, quando a função está acima do eixo x, a área é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.

Passo 2

Precisamos verificar o sinal de y = x^2 - 1 em [1,3]. Em x=1,
y = 1^2 - 1 = 0,
e para x>1, x^2-1>0. Como a curva fica sobre o eixo x, a área é
\int_{1}^{3} \bigl(x^2 - 1\bigr)\,dx.

Passo 3

Calcular a antiderivada de x^2 - 1:
\int \bigl(x^2 - 1\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3} - x + C.

Passo 4

Avaliar a integral definida usando F(x)=\frac{x^3}{3}-x:
\text{Área} = F(3) - F(1) = \Bigl(\frac{27}{3}-3\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{3}-1\Bigr) = (9-3) - \bigl(\tfrac{1}{3}-1\bigr) =6 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =6 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{20}{3}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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