Determine a área da região entre a reta y=x-1 e o eixo x de:
x=-2 até x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela reta
y = x - 1
e o eixo x, entre x = -2 e x = 2.
O conteúdo usado é cálculo de área por integral definida, lembrando que devemos integrar o valor absoluto de y, pois queremos área positiva mesmo onde y for negativa.

Passo 2

Primeiro achamos onde a reta cruza o eixo x, ou seja, onde y=0:
x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Isso divide o intervalo [-2,2] em duas partes: em [-2,1] temos y=x-1\le0, e em [1,2] temos y=x-1\ge0.

Passo 3

A área procurada é
\int_{-2}^{2}\bigl|\,x-1\bigr|\,dx \;=\; \int_{-2}^{1}(1 - x)\,dx \;+\; \int_{1}^{2}(x - 1)\,dx,
pois em [-2,1] vale \lvert x-1\rvert=-(x-1)=1-x e em [1,2] vale \lvert x-1\rvert=x-1.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
\int(1 - x)\,dx = x - \frac{x^2}{2},
logo
\int_{-2}^{1}(1 - x)\,dx =\Bigl[x - \tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-2}^{1} =\Bigl(1 - \tfrac{1}{2}\Bigr)-\Bigl(-2 - \tfrac{4}{2}\Bigr) =\tfrac12 -(-4) =\tfrac{9}{2}.
\int(x - 1)\,dx = \frac{x^2}{2} - x,
logo
\int_{1}^{2}(x - 1)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2} - x\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(2 - 2\bigr)-\bigl(\tfrac12 -1\bigr) =0 -(-\tfrac12) =\tfrac12.

Passo 5

Somando as duas parcelas dá a área total:
\frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5.

Resposta

A área da região é 5.

Exercícios relacionados