Determine a área da região entre a reta y=x-1 e o eixo x de:
\mathrm{x}=1 até \mathrm{x}=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela reta \,y = x - 1 e o eixo x no intervalo de \,x=1 até \,x=4. Esse é um problema de cálculo de área sob curva, que vamos resolver usando a integral definida de \,y em relação a \,x.

Passo 2

Antes de montar a integral, verificamos se a reta fica acima do eixo x nesse intervalo. A raiz da reta é o ponto onde y=0:
x - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Para 1 < x \le 4, tem-se y = x-1>0. Logo, a função está acima do eixo x em todo o intervalo dado.

Passo 3

Como a reta está acima do eixo, a área é
\int_{1}^{4} \bigl(x - 1\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int (x - 1)\,dx = \frac{x^2}{2} - x + C.
Logo, a área é
\left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{4} = \Bigl(\frac{4^2}{2}-4\Bigr) - \Bigl(\frac{1^2}{2}-1\Bigr) = (8 - 4) - \bigl(\tfrac12 - 1\bigr) = 4 - \bigl(-\tfrac12\bigr) = 4 + \tfrac12 = \tfrac{9}{2}.

Resposta

A área da região é \,\tfrac{9}{2}.

Exercícios relacionados