Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelo eixo y, pela reta y=2 x e po parábola y=3-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada por três curvas: o eixo y (ou seja x=0), a reta \,y=2x e a parábola \,y=3 - x^2. Vamos usar cálculo de áreas entre curvas, integrando em x.

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto de interseção da reta com a parábola, pois ele vai dar o limite superior em x. Igualamos\r
2x = 3 - x^2\r
que leva a\r
x^2 + 2x - 3 = 0.\r
As raízes são x = 1 e x = -3. No primeiro quadrante tomamos x=1, onde y=2\cdot1=2.

Passo 3

Entre x=0 e x=1, em qualquer abscissa x, o valor da parábola y=3 - x^2 é maior que o da reta y=2x. Assim a área procurada é\r
a integral da diferença “parábola menos reta” de x=0 até x=1.

Passo 4

Escrevemos a integral de área:\r
\text{Área} = \int_{0}^{1} \bigl[(3 - x^2) - (2x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(3 - 2x - x^2\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calculamos a integral:\r
\int \bigl(3 - 2x - x^2\bigr)\,dx = 3x - x^2 - \tfrac{x^3}{3} + C.\r
Logo,\r
\text{Área} = \Bigl[3x - x^2 - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(3 - 1 - \tfrac{1}{3}\bigr) - 0 = 2 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}.Á

Resposta

\displaystyle \tfrac{5}{3}

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