Determine as integrais.
\int_{1}^{2} \frac{(\ln (x))^{3}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^{3}}{x}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, já que temos \ln(x) e seu derivado 1/x junto no integrando.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t = \ln(x),
portanto
dt = \frac{1}{x}\,dx.
Quando x=1, temos t=\ln(1)=0. Quando x=2, temos t=\ln(2). Assim a integral original vira
\int_{x=1}^{x=2}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^{3}}{x}\,dx =\int_{t=0}^{t=\ln(2)}t^{3}\,dt.

Passo 3

Agora basta integrar t^{3} em relação a t. A primitiva de t^{3} é \tfrac{t^{4}}{4}, logo
\int_{0}^{\ln(2)}t^{3}\,dt =\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{\ln(2)} =\frac{\bigl(\ln(2)\bigr)^{4}}{4}-0 =\frac{\bigl(\ln(2)\bigr)^{4}}{4}.

Resposta

\int_{1}^{2}\frac{\bigl(\ln(x)\bigr)^{3}}{x}\,dx =\frac{\bigl(\ln(2)\bigr)^{4}}{4}.

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