Determine as integrais.
\int e^{4 x} \cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = \int e^{4x}\cos(2x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de um produto entre exponencial e cosseno. Vamos usar o método de integração por partes duas vezes e, em seguida, resolver uma equação para I.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{4x}\cos(2x)\,dx
e aplicamos integração por partes com
u = e^{4x},\quad dv = \cos(2x)\,dx.
Então
du = 4e^{4x}\,dx,\quad v = \frac{\sin(2x)}{2},
e
I = u\,v - \int v\,du = \frac{e^{4x}\sin(2x)}{2} - \int \frac{\sin(2x)}{2}\cdot 4e^{4x}\,dx = \frac{e^{4x}\sin(2x)}{2} - 2\underbrace{\int e^{4x}\sin(2x)\,dx}_{J}.

Passo 3

Chamamos
J = \int e^{4x}\sin(2x)\,dx
e fazemos integração por partes novamente com
u = e^{4x},\quad dv = \sin(2x)\,dx.
Então
du = 4e^{4x}\,dx,\quad v = -\frac{\cos(2x)}{2},
e
J = u\,v - \int v\,du = -\frac{e^{4x}\cos(2x)}{2} - \int \Bigl(-\frac{\cos(2x)}{2}\Bigr)\cdot 4e^{4x}\,dx = -\frac{e^{4x}\cos(2x)}{2} + 2I.

Passo 4

Substituímos a expressão de J em I:
I = \frac{e^{4x}\sin(2x)}{2} - 2J = \frac{e^{4x}\sin(2x)}{2} - 2\Bigl(-\tfrac{e^{4x}\cos(2x)}{2} + 2I\Bigr).
Expandindo,
I = \frac{e^{4x}\sin(2x)}{2} + e^{4x}\cos(2x) - 4I,
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I + 4I = 5I = e^{4x}\cos(2x) + \frac{e^{4x}\sin(2x)}{2} = e^{4x}\Bigl(\cos(2x) + \tfrac12\sin(2x)\Bigr).
Assim,
I = \frac{e^{4x}}{5}\Bigl(\cos(2x) + \tfrac12\sin(2x)\Bigr).

Passo 5

Fatorando para simplificar, temos
I = \frac{e^{4x}}{10}\bigl(2\cos(2x) + \sin(2x)\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int e^{4x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{4x}}{10}\bigl(2\cos(2x) + \sin(2x)\bigr) + C.

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