Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x^{2} y^{3}- 4 e^{x y}, no ponto (0,1), na direção do vetor v=(1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{2}y^{3}-4e^{xy}
no ponto (0,1) na direção do vetor \mathbf{v}=(1,2).
Para isso, vamos usar que a derivada direcional de f em (x_{0},y_{0}) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de f.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =2x\,y^{3}-4\,y\,e^{xy},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =3x^{2}\,y^{2}-4\,x\,e^{xy}.

Passo 3

Avaliar o gradiente em (0,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1) =2\cdot0\cdot1^{3}-4\cdot1\cdot e^{0}= -4,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,1) =3\cdot0^{2}\cdot1^{2}-4\cdot0\cdot e^{0}=0.
Logo,
\nabla f(0,1)=(-4,\,0).

Passo 4

Normalizar o vetor de direção \mathbf{v}=(1,2). Seu comprimento é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5},
então o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(0,1) =\nabla f(0,1)\cdot\mathbf{u} =(-4,0)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2) =\frac{-4\cdot1+0\cdot2}{\sqrt{5}} =-\frac{4}{\sqrt{5}}.

Resposta

A derivada direcional de f em (0,1) na direção de (1,2) é
-\frac{4}{\sqrt{5}}.

Exercícios relacionados