Esboce a curva de nível 15 da funcão f(x, y)=x^{2}-y+2 x.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva de nível 15 da função
f(x,y)=x^{2}-y+2x,
ou seja, o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=15. O conteúdo aqui é curva de nível e esboço de curvas no plano.

Passo 2

Impondo f(x,y)=15 temos
x^{2}-y+2x=15.
Isolando y obtemos
y = x^{2}+2x-15.

Passo 3

A equação
y = x^{2}+2x-15
é uma parábola no plano xy com eixo vertical (abertura para cima). Para encontrar o vértice, completamos o quadrado em x^{2}+2x:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1,
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y = (x+1)^{2}-1-15 = (x+1)^{2}-16.
Isso mostra que o vértice fica em (-1,-16).

Passo 4

Identificamos pontos importantes para o esboço:
– intercepto em y (quando x=0):
y(0)=0^{2}+2\cdot0-15 = -15;
– interceptos em x (quando y=0):
x^{2}+2x-15=0 \implies x = \frac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2} = 3\text{ ou }-5.

Passo 5

Com vértice em (-1,-16), eixo de simetria x=-1, interceptos em (-5,0) e (3,0) e abertura para cima, basta desenhar a parábola nesse formato para completar o esboço.

Resposta

A curva de nível 15 de f é a parábola
y = x^{2}+2x-15,
com vértice em (-1,-16), eixo de simetria x=-1 e interceptos em (-5,0) e (3,0).

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