Determine a área da região do primeiro quadrante que é delimitada por
e
integrando em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
integrando em relação a
. Vamos precisar achar primeiro os pontos de interseção das curvas e descrever a região em termos de
.
Passo 2
Determinamos a interseção entre
e
resolvendo
Fazendo
, vem
, com raízes
e
. Como
, temos
, isto é
e
. Além disso, no primeiro quadrante
, a reta cruza o eixo
em
(ponto
) e a curva cruza o eixo
em
.
Passo 3
Para integrar em
, expressamos
em função de
em cada curva:
da parábola vem
da parábola
e da reta
vem
O valor de
varia de
(no ponto
) até
(no ponto de interseção
). Para cada
, a abscissa vai de
até
.
Passo 4
Montamos a integral da área
em função de
:
Passo 5
Separamos em três integrais:
Calculamos cada uma:
Passo 6
Somando e subtraindo:
Resposta
A área da região é
.