Determine a área da região do primeiro quadrante que é delimitada por y=raizx e y=x-2 integrando em relação a y.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
y = raizx
e
y = x - 2
integrando em relação a y. Vamos precisar achar primeiro os pontos de interseção das curvas e descrever a região em termos de y.

Passo 2

Determinamos a interseção entre y=raizx e y=x-2 resolvendo
raizx = x - 2
Fazendo t = raizx, vem t^2 - t - 2=0, com raízes t=2 e t=-1. Como t>=0, temos t=2, isto é x=4 e y=2. Além disso, no primeiro quadrante y>=0, a reta cruza o eixo x em x-2=0implies x=2 (ponto (2,0)) e a curva cruza o eixo y em (0,0).

Passo 3

Para integrar em y, expressamos x em função de y em cada curva:
da parábola y=raizx vem
x = y^2,
e da reta y=x-2 vem
x = y + 2
O valor de y varia de 0 (no ponto (0,0)) até 2 (no ponto de interseção (4,2)). Para cada yin[0,2], a abscissa vai de xmin=y^2 até xmax=y+2.

Passo 4

Montamos a integral da área A em função de y:
A = integraly=0^2 l(xmax-xminr),dy = integral0^2 l((y+2) - y^2r),dy

Passo 5

Separamos em três integrais:
integral0^2(y+2 - y^2),dy = integral0^2y,dy ;+;integral0^22,dy ;-;integral0^2y^2,dy
Calculamos cada uma:
integral0^2y,dy = [tfracy^22]0^2 = tfrac42 = 2,
integral0^22,dy = l[2yr]0^2 = 4,
integral0^2y^2,dy = [tfracy^33]0^2 = tfrac83

Passo 6

Somando e subtraindo:
A = 2 + 4 - tfrac83 = 6 - tfrac83 = tfrac183 - tfrac83 = tfrac103

Resposta

A área da região é tfrac103.

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