(2,5 pontos) Seja D a região delimitada pelas curvas y=x e y=raizx. Esboce a região D e calcule
integral duplaD e^xy d A

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região D limitada pelas curvas y=x e y=√x e, em seguida, calcular a integral dupla integral duplaD e^x/y,dA. O conteúdo envolve mudança da ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Para entender D, achamos as interseções de y=x e y=√x resolvendo x=√x, que dá x=0 e x=1. Num esboço rápido, para 0≤x≤1 temos √x≥x. Assim D pode ser descrita como 0<= x<=1 e x<= y<=raiz x.

Passo 3

Como integrar e^x/y em y complica, trocamos a ordem: projetamos D no eixo y. Como x varia entre as curvas x=y² (vinda de y=√x) e x=y (vinda de y=x), para 0≤y≤1 temos y^2<= x<= y. Logo

Passo 4

integral duplaD e^x/y,dA=integraly=0^1integralx=y^2^y e^x/y,dx,dy

Passo 5

Agora, para cada y fixo integrando em x:

Passo 6

integralx=y^2^y e^x/y,dx = l[y,e^x/yr]x=y^2^x=y = yl(e^1-e^yr)

Passo 7

Portanto a integral vira

Passo 8

integral0^1 yl(e - e^yr),dy = eintegral0^1y,dy - integral0^1y e^y,dy

Passo 9

Calculamos separadamente: integral0^1 y,dy=1/2 e por partes integral0^1 y e^y,dy=1. Substituindo, obtemos

Passo 10

ecdottfrac12 - 1 = tfrace2 - 1

Resposta

e2 - 1

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