(2,5 pontos) Seja
a região delimitada pelas curvas
e
. Esboce a região
e calcule
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região D limitada pelas curvas y=x e y=√x e, em seguida, calcular a integral dupla
. O conteúdo envolve mudança da ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Para entender D, achamos as interseções de y=x e y=√x resolvendo x=√x, que dá x=0 e x=1. Num esboço rápido, para 0≤x≤1 temos √x≥x. Assim D pode ser descrita como
e
.
Passo 3
Como integrar
em y complica, trocamos a ordem: projetamos D no eixo y. Como x varia entre as curvas x=y² (vinda de y=√x) e x=y (vinda de y=x), para 0≤y≤1 temos
. Logo
Passo 4
Passo 5
Agora, para cada y fixo integrando em x:
Passo 6
Passo 7
Portanto a integral vira
Passo 8
Passo 9
Calculamos separadamente:
e por partes
. Substituindo, obtemos