Determine a área da região sob o gráfico da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar a área sob o gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o Cálculo Integral, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular a área entre o gráfico de uma função e o eixo
dentro de um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a integral definida da função
de
até
. A integral definida é representada assim:
Isso significa que vamos somar todos os pequenos retângulos sob a curva de
entre esses dois pontos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada é uma função que, quando derivada, retorna a função original.
- A antiderivada de
é (porque a derivada de é ). - A antiderivada de
é (pois a derivada de é ).
Então, a antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração, mas para a integral definida não precisamos nos preocupar com ela.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a integral definida de uma função é igual à sua antiderivada avaliada nos limites de integração:
Substituindo
na equação:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área da região sob o gráfico da função
no intervalo
é
unidades quadradas.