Determine a área da região sob o gráfico da função f no intervalo [a, b].
f(x)=4 x-1 ; [2,4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de encontrar a área sob o gráfico da função f(x) = 4x - 1 no intervalo de x = 2 até x = 4. Para isso, vamos usar o Cálculo Integral, especificamente a integral definida, que nos ajuda a calcular a área entre o gráfico de uma função e o eixo x dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a integral definida da função f(x) de x = 2 até x = 4. A integral definida é representada assim:
integral2^4 (4x - 1) , dx
Isso significa que vamos somar todos os pequenos retângulos sob a curva de f(x) entre esses dois pontos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de f(x) = 4x - 1. A antiderivada é uma função que, quando derivada, retorna a função original.
  • A antiderivada de 4x é 42x^2 = 2x^2 (porque a derivada de 2x^2 é 4x).
  • A antiderivada de -1 é -x (pois a derivada de -x é -1).
Então, a antiderivada de f(x) é:
F(x) = 2x^2 - x + C
Onde C é a constante de integração, mas para a integral definida não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a integral definida de uma função é igual à sua antiderivada avaliada nos limites de integração:
integral2^4 (4x - 1) , dx = F(4) - F(2)
Substituindo F(x) na equação:
= (2(4)^2 - 4) - (2(2)^2 - 2)

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
Para x = 4:
2(4)^2 - 4 = 2(16) - 4 = 32 - 4 = 28
Para x = 2:
2(2)^2 - 2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6
Subtraindo os resultados:
28 - 6 = 22

Resposta

A área da região sob o gráfico da função f(x) = 4x - 1 no intervalo [2, 4] é 22 unidades quadradas.

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