Determine a área da região sob o gráfico da função f no intervalo [a, b].
f(x)=3 x^2+2 x+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área da região que está abaixo do gráfico da função f(x) = 3x^2 + 2x + 1 no intervalo de a até b . Isso envolve calcular a integral definida dessa função entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo integral, especificamente como calcular a área sob uma curva usando integrais.

Passo 2

Primeiro, lembrando o básico: a integral definida de uma função f(x) de a até b nos dá a área sob o gráfico dessa função entre esses dois valores. A fórmula geral para isso é:
Área = integrala^b f(x) , dx Á
Então, no nosso caso, precisamos calcular:
Área = integrala^b (3x^2 + 2x + 1) , dx Á

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo da função separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais. Lembrando das regras básicas de integração:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando isso aos termos da nossa função:
integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3
integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2
integral 1 , dx = x

Passo 4

Agora, somamos todas essas integrais para encontrar a antiderivada da função:
integral (3x^2 + 2x + 1) , dx = x^3 + x^2 + x + C
Mas como estamos calculando uma integral definida de a até b , o C (constante de integração) não é necessário.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites b e a e subtraímos:
Área = [ x^3 + x^2 + x ]a^b = (b^3 + b^2 + b) - (a^3 + a^2 + a) Á

Resposta

A área da região sob o gráfico da função f(x) = 3x^2 + 2x + 1 no intervalo [a, b] é:
Área = b^3 + b^2 + b - a^3 - a^2 - a Á

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