Determine a área da região sob o gráfico da função
no intervalo
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a área da região que está abaixo do gráfico da função
no intervalo de
até
. Isso envolve calcular a integral definida dessa função entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo integral, especificamente como calcular a área sob uma curva usando integrais.
Passo 2
Primeiro, lembrando o básico: a integral definida de uma função
de
até
nos dá a área sob o gráfico dessa função entre esses dois valores. A fórmula geral para isso é:
Então, no nosso caso, precisamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo da função separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais. Lembrando das regras básicas de integração:
Aplicando isso aos termos da nossa função:
Passo 4
Agora, somamos todas essas integrais para encontrar a antiderivada da função:
Mas como estamos calculando uma integral definida de
até
, o
(constante de integração) não é necessário.
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites
e
e subtraímos:
Resposta
A área da região sob o gráfico da função
no intervalo
é: