Encontre as seguintes integrais indefinidas:
integral(2+x2 x^2+1 cdot) d x2 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integrall(2 + x2x^2+1r)dx2x^2+1
O conteúdo é integração de funções racionais que envolvem um quadrático no denominador. Vamos usar duas ideias principais:
  1. Decompor a expressão em soma de frações mais simples.
  2. Aplicar a primitivação de integraldxax^2+1 (que dá arco-tangente) e substituição para o outro termo.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como soma de duas frações:
l(2 + x2x^2+1r)12x^2+1 = 22x^2+1 + x(2x^2+1)^2
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integrall(2 + x2x^2+1r)dx2x^2+1 = integral 22x^2+1,dx + integral x(2x^2+1)^2,dx

Passo 3

Para
I1 = integral 22x^2+1,dx
usamos a fórmula
integral dxax^2+1 = 1raizaarctanl(xraizar)+C
Aqui a=2, então
I1 = 2cdot1raiz2arctanl(xraiz2r) = raiz2,arctanl(xraiz2r)

Passo 4

Para
I2 = integral x(2x^2+1)^2,dx
fazemos a substituição
u = 2x^2+1, du = 4x,dx Longrightarrow x,dx = du4
Assim
I2 = integral 1u^2cdotdu4 = 14integral u^-2,du = 14l(-u^-1r) = -14u = -14(2x^2+1)

Passo 5

Somando I1+I2 e incluindo a constante geral C, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

integrall(2 + x2x^2+1r)dx2x^2+1 = raiz2,arctanl(xraiz2r) - 14(2x^2+1) + C

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