Determine a área da região sob o gráfico da função f no intervalo [a, b].
f(x)=x^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está debaixo do gráfico da função f(x) = x^3 no intervalo entre a e b . Isso envolve o conteúdo de cálculo, especificamente o uso de integrais para calcular áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar essa função para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área sob o gráfico de uma função entre dois pontos é calculada usando a integral definida. A integral definida de f(x) de a até b nos dá exatamente essa área. Então, vamos escrever a integral que representa a área que queremos encontrar:
Área = integrala^b x^3 , dx Á

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de x^3 em relação a x é encontrada usando a regra de potência para integrais. A regra diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com C . Aplicando essa regra com n = 3 :
integral x^3 , dx = x^44

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração a e b na função antiderivada que encontramos:
Área = [ x^44 ]a^b = b^44 - a^44 Á
Podemos simplificar isso fatorando 14 :
Área = b^4 - a^44 Á

Resposta

A área da região sob o gráfico de f(x) = x^3 no intervalo [a, b] é:
b^4 - a^44

Exercícios relacionados