Determine a área da região “triangular” no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y=e^x / 2, abaixo pela curva y=e^-x / 2 e à direita pela reta x=2 ln 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada acima por y=e^x/2, abaixo por y=e^-x/2 e à direita por x=2ln2. O conteúdo é cálculo de área entre curvas e vamos usar integrais definidas da forma
área = integrala^bl(ytopo - yfundor),dx á

Passo 2

Precisamos encontrar o intervalo em x. As duas curvas se intersectam quando
e^x/2=e^-x/2
o que implica x/2=-x/2, ou seja x=0. Como a região vai de x=0 até x=2ln2, temos a=0 e b=2ln2.

Passo 3

Montamos a integral da área subtraindo a curva inferior da superior:
área = integral0^2ln2l(e^x/2 - e^-x/2r),dx á

Passo 4

Calculamos o antiderivado usando integral e^ax,dx = 1ae^ax:
integrall(e^x/2 - e^-x/2r),dx =2e^x/2 ;+;2e^-x/2 + C

Passo 5

Avaliamos de 0 a 2ln2:
F(x)=2e^x/2+2e^-x/2,
F(2ln2)=2cdot2 + 2cdot12 =4+1=5, F(0)=2cdot1+2cdot1=4,
área = F(2ln2)-F(0)=5-4=1 á

Resposta

A área da região é 1.

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